1. Шар и сфера, их сечения 2. Действия над векторами в пространстве 3. Примеры 1) Вычислить: 6⁰ : 6⁻³ 5) 9⁻² : 3⁻⁶; 2) Вычислите ∫₀¹ (x³ + x) dx ∫₋₁² 4x³ dx 4. Задача: Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

1. Шар и сфера, их сечения

Шар — это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). Сфера — это поверхность шара. Сечение шара плоскостью — это круг. Если плоскость проходит через центр шара, то сечение называется большим кругом, а его радиус равен радиусу шара.

2. Действия над векторами в пространстве

Векторы в пространстве можно складывать, вычитать, умножать на число. Сложение векторов выполняется по правилу параллелограмма или треугольника. Умножение вектора на число приводит к изменению его длины (при положительном числе) или изменению длины и направления (при отрицательном числе).

3. Примеры

1) Вычислить:

• \( 6^0 : 6^{-3} = 1 : \frac{1}{6^3} = 6^3 = 216 \)
• \( 9^{-2} : 3^{-6} = (3^2)^{-2} : 3^{-6} = 3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 - (-6)} = 3^2 = 9 \)
• \( 125^4 : 25^{-5} = (5^3)^4 : (5^2)^{-5} = 5^{12} : 5^{-10} = 5^{12 - (-10)} = 5^{22} \)

2) Вычислите:

• \[ \int_{0}^{1} (x^3 + x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^4}{4} + \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{0^4}{4} + \frac{0^2}{2} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]
• \[ \int_{-1}^{2} 4x^3 dx = \left[ \frac{4x^4}{4} \right]_{-1}^{2} = \left[ x^4 \right]_{-1}^{2} = 2^4 - (-1)^4 = 16 - 1 = 15 \]

4. Задача:

Дано:

Прямоугольная пирамида.

Основание: прямоугольник со сторонами \( a = 6 \text{ см} \), \( b = 8 \text{ см} \).

Боковое ребро \( l = 13 \text{ см} \).

Найти:

Высоту пирамиды \( h \).

Решение:

1. Найдем диагональ основания \( d \) по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). \( d = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \).
2. Найдем половину диагонали основания \( \frac{d}{2} \): \( \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 \).
4. Выразим высоту \( h \): \( h^2 = l^2 - \left(\frac{d}{2}\right)^2 \). \( h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \).
5. Найдем высоту: \( h = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \).

Ответ: Высота пирамиды равна 12 см.