1. Шар и сфера. 2. Дан прямой круговой конус, высота которого равна 10 см, а площадь основания равна 25 см². Определите площадь сечения, параллельного основанию и удаленного от основания на 3 см. 3. Найти область определения функции: y = 3x²-5x+6; y = (2x²+4x-1)/(x²+14x+48); y = (3x-1)/(x-7)

Решение:

1. Шар и сфера.

Это два разных геометрических тела. Шар — это тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не превосходящем радиус, от заданной точки (центра). Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от центра.

2. Площадь сечения конуса.

1. Дано: Высота конуса \( H = 10 \) см, площадь основания \( S_{осн} = 25 \) см², расстояние сечения от основания \( h = 3 \) см.
2. Найти: Площадь сечения \( S_{sec} \).
3. Решение:
4. Площадь основания конуса \( S_{осн} = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус основания.
5. \( 25 = \pi R^2 \)
6. Радиус основания: \( R = \sqrt{\frac{25}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} \) см.
7. Высота сечения от вершины конуса: \( H_{sec} = H - h = 10 - 3 = 7 \) см.
8. Подобные треугольники, образованные высотой, радиусом основания и образующей конуса, позволяют найти радиус сечения \( r \): \( \frac{r}{R} = \frac{H_{sec}}{H} \)
9. \( r = R \cdot \frac{H_{sec}}{H} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{7}{10} = \frac{35}{10\sqrt{\pi}} = \frac{3.5}{\sqrt{\pi}} \) см.
10. Площадь сечения \( S_{sec} = \pi r^2 \)
11. \( S_{sec} = \pi \left(\frac{3.5}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \frac{3.5^2}{\pi} = 3.5^2 = 12.25 \) см².

Ответ: Площадь сечения равна 12.25 см².

3. Область определения функции.

Область определения функции — это все допустимые значения аргумента \( x \).

• Функция 1: \( y = 3x^2 - 5x + 6 \)
• Это квадратичная функция. Область определения — все действительные числа, так как нет ограничений (нет деления на ноль, нет корня из отрицательного числа).
• \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
• Функция 2: \( y = \frac{2x^2 + 4x - 1}{x^2 + 14x + 48} \)
• Дробно-рациональная функция. Знаменатель не должен быть равен нулю.
• \( x^2 + 14x + 48 \neq 0 \)
• Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 14x + 48 = 0 \).
• Дискриминант \( D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \).
• \( x_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-14 + 2}{2} = -6 \)
• \( x_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-14 - 2}{2} = -8 \)
• Значит, \( x \neq -6 \) и \( x \neq -8 \).
• \( D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; -6) \cup (-6; +\infty) \)
• Функция 3: \( y = \frac{3x - 1}{x - 7} \)
• Дробно-рациональная функция. Знаменатель не должен быть равен нулю.
• \( x - 7 \neq 0 \)
• \( x \neq 7 \)
• \( D(y) = (-\infty; 7) \cup (7; +\infty) \)

Ответ: Область определения первой функции — \( (-\infty; +\infty) \); второй — \( (-\infty; -8) \cup (-8; -6) \cup (-6; +\infty) \); третьей — \( (-\infty; 7) \cup (7; +\infty) \).