1) Сформулируйте определение и свойства прямоугольника. 2) Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 3) Найдите величину (в градусах) вписанного угла, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности. 4) В треугольнике ABC углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Решение:

1. Определение и свойства прямоугольника:

• Определение: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°).
• Свойства:
  • Противоположные стороны равны и параллельны.
  • Все углы равны 90°.
  • Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
  • Является частным случаем параллелограмма.

2. Теорема Пифагора:

• Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
• Формула:

  \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

  где a и b — катеты, c — гипотенуза.
• Доказательство: (Требуется геометрическое доказательство, например, с помощью построения квадрата на гипотенузе и разбиения его на меньшие квадраты и прямоугольники, или с помощью площадей.)

3. Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу:

Пусть радиус окружности равен R. Хорда AB = R. Рассмотрим треугольник AOB, где O — центр окружности. OA = OB = R (радиусы), AB = R (по условию). Следовательно, треугольник AOB — равносторонний.

Угол AOB (центральный угол, опирающийся на хорду AB) равен 60°.

Вписанный угол ACB, опирающийся на ту же хорду AB, равен половине центрального угла AOB.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 60° = 30° \]

Ответ: 30°

4. Угол между высотой BH и биссектрисой BD в треугольнике ABC:

• Дано:

  \[ \triangle ABC, \; \angle A = 20°, \; \angle C = 60°, \; BH \perp AC, \; BD - \text{биссектриса} \]

• Найти:

  \[ \angle HBD \]

• Решение:
  • Найдем угол B треугольника ABC:

    \[ \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - (20° + 60°) = 180° - 80° = 100° \]

  • BD — биссектриса, делит угол B пополам:

    \[ \angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2} = \frac{100°}{2} = 50° \]

  • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:

    \[ \angle ABH = 90° - \angle A = 90° - 20° = 70° \]

  • Угол HBD — это разность углов ABD и ABH:

    \[ \angle HBD = \angle ABD - \angle ABH = 50° - 70° = -20° \]

    Поскольку угол не может быть отрицательным, мы берем абсолютное значение или угол, образованный отрезками:

    \[ \angle HBD = |50° - 70°| = 20° \]

Ответ: 20°