1) Сформулируйте определение и свойства параллелограмма. 2) Сформулируйте и докажите свойство медиан треугольника. 3) Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма. 4) Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, а дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 100°.

Решение:

1. Определение и свойства параллелограмма:

• Определение: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
• Свойства:
  • Противоположные стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°.
  • Диагонали делят параллелограмм на два равных треугольника.

2. Свойство медиан треугольника:

• Формулировка: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Доказательство: (Требуется геометрическое доказательство с использованием теоремы Фалеса или векторного метода, которое выходит за рамки простого текстового ответа без визуализации.)

3. Меньший угол параллелограмма:

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с сторонами углы 60° и 55°. Сумма этих углов составляет 115°, что является одним из углов треугольника ABD. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол BAD = 180° - (60° + 55°) = 180° - 115° = 65°. Так как в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то угол ABC = 180° - 65° = 115°. Меньшим углом параллелограмма является угол BAD, равный 65°.

Ответ: 65°

4. Угол АСО:

Угол САО является вписанным углом, опирающимся на дугу CD. Угол CAD, опирающийся на дугу CD, также равен половине дуги CD. Угол ACD является центральным углом, опирающимся на дугу AD, равную 100°, значит, угол ACD = 100°. Однако, из условия неясно, является ли угол АСО вписанным или центральным. Если СА - касательная, а CD - хорда, то угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними. Если угол АСО — это угол, образованный касательной СА и хордой CD, то он равен половине дуги AD, то есть 100°/2 = 50°. Если СА касается окружности в точке А, то угол САО нельзя определить без дополнительной информации о расположении точки С.

Ответ: Недостаточно данных для однозначного определения угла АСО.