1. Сеня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Сеня?

Решение:

Обозначим число, которое задумал Сеня, как \( x \).

1. Умножил на 13: \( 13x \).
2. Зачеркнул последнюю цифру результата. Пусть полученное число будет \( y \).
3. Умножил \( y \) на 7: \( 7y \).
4. Зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Это означает, что \( 7y \) оканчивалось на цифру, которая после вычеркивания дала 21.

Из условия \( 7y \) → 21 следует, что \( y \) было числом, которое при умножении на 7 давало число, оканчивающееся на какую-то цифру, и после ее вычеркивания получилось 21. Это возможно, если \( y = 3 \) (так как \( 7 \times 3 = 21 \)).

Теперь вернемся к первому шагу. \( 13x \) → \( y \), где \( y=3 \). Это значит, что \( 13x \) оканчивалось на цифру, которая после вычеркивания дала 3. Это число может быть 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.

Проверим варианты, при которых \( 13x \) заканчивается на цифру, и после вычеркивания получается 3:

• Если \( 13x = 3 \) (невозможно, т.к. \( x \) - натуральное).
• Если \( 13x = 13 \), последняя цифра 3. Вычеркиваем 3, получаем 1 (не 3).
• Если \( 13x = 26 \), последняя цифра 6. Вычеркиваем 6, получаем 2 (не 3).
• Если \( 13x = 39 \), последняя цифра 9. Вычеркиваем 9, получаем 3. Это подходит.
• Если \( 13x = 52 \), последняя цифра 2. Вычеркиваем 2, получаем 5 (не 3).
• Если \( 13x = 65 \), последняя цифра 5. Вычеркиваем 5, получаем 6 (не 3).
• Если \( 13x = 78 \), последняя цифра 8. Вычеркиваем 8, получаем 7 (не 3).
• Если \( 13x = 91 \), последняя цифра 1. Вычеркиваем 1, получаем 9 (не 3).
• Если \( 13x = 104 \), последняя цифра 4. Вычеркиваем 4, получаем 10 (не 3).
• Если \( 13x = 117 \), последняя цифра 7. Вычеркиваем 7, получаем 11 (не 3).
• Если \( 13x = 130 \), последняя цифра 0. Вычеркиваем 0, получаем 13 (не 3).
• Если \( 13x = 143 \), последняя цифра 3. Вычеркиваем 3, получаем 14 (не 3).
• Если \( 13x = 156 \), последняя цифра 6. Вычеркиваем 6, получаем 15 (не 3).
• Если \( 13x = 169 \), последняя цифра 9. Вычеркиваем 9, получаем 16 (не 3).
• Если \( 13x = 182 \), последняя цифра 2. Вычеркиваем 2, получаем 18 (не 3).
• Если \( 13x = 195 \), последняя цифра 5. Вычеркиваем 5, получаем 19 (не 3).
• Если \( 13x = 208 \), последняя цифра 8. Вычеркиваем 8, получаем 20 (не 3).
• Если \( 13x = 221 \), последняя цифра 1. Вычеркиваем 1, получаем 22 (не 3).
• Если \( 13x = 234 \), последняя цифра 4. Вычеркиваем 4, получаем 23 (не 3).
• Если \( 13x = 247 \), последняя цифра 7. Вычеркиваем 7, получаем 24 (не 3).
• Если \( 13x = 260 \), последняя цифра 0. Вычеркиваем 0, получаем 26 (не 3).
• Если \( 13x = 273 \), последняя цифра 3. Вычеркиваем 3, получаем 27 (не 3).
• Если \( 13x = 286 \), последняя цифра 6. Вычеркиваем 6, получаем 28 (не 3).
• Если \( 13x = 299 \), последняя цифра 9. Вычеркиваем 9, получаем 29 (не 3).
• Если \( 13x = 312 \), последняя цифра 2. Вычеркиваем 2, получаем 31 (не 3).
• Если \( 13x = 325 \), последняя цифра 5. Вычеркиваем 5, получаем 32 (не 3).
• Если \( 13x = 338 \), последняя цифра 8. Вычеркиваем 8, получаем 33 (не 3).
• Если \( 13x = 351 \), последняя цифра 1. Вычеркиваем 1, получаем 35 (не 3).
• Если \( 13x = 364 \), последняя цифра 4. Вычеркиваем 4, получаем 36 (не 3).
• Если \( 13x = 377 \), последняя цифра 7. Вычеркиваем 7, получаем 37 (не 3).
• Если \( 13x = 390 \), последняя цифра 0. Вычеркиваем 0, получаем 39 (не 3).

Продолжим перебор. Нам нужно, чтобы число, полученное после вычеркивания последней цифры, было \( y=3 \). Это означает, что \( 13x \) должно было оканчиваться на такую цифру, что при ее вычеркивании получается 3. Единственный случай, когда последняя цифра равна 3, — это когда \( 13x \) само заканчивается на 3. Это происходит, когда \( x \) заканчивается на 1. Например, \( 13 \times 1 = 13 \), вычеркиваем 3, получаем 1. \( 13 \times 11 = 143 \), вычеркиваем 3, получаем 14. \( 13 \times 21 = 273 \), вычеркиваем 3, получаем 27. \( 13 \times 31 = 403 \), вычеркиваем 3, получаем 40. \( 13 \times 41 = 533 \), вычеркиваем 3, получаем 53. \( 13 \times 51 = 663 \), вычеркиваем 3, получаем 66. \( 13 \times 61 = 793 \), вычеркиваем 3, получаем 79. \( 13 \times 71 = 923 \), вычеркиваем 3, получаем 92.

Обратим внимание на второе условие: \( y \) умножили на 7 и получили 21. Это значит, что \( y \) было 3, т.к. \( 3 \times 7 = 21 \). Следовательно, число \( 13x \) после зачеркивания последней цифры должно было дать 3. То есть \( 13x \) было числом вида \( 3 \text{d} \), где \( \text{d} \) — зачеркнутая цифра.

Нам нужно найти такое \( x \), чтобы \( 13x \) при зачеркивании последней цифры давало 3. Например, если \( 13x = 30 \), зачеркнули 0, получили 3. \( 13x = 30 \) -> \( x = 30/13 \) (не целое). Если \( 13x = 31 \), зачеркнули 1, получили 3 (не подходит). Если \( 13x = 32 \), зачеркнули 2, получили 3 (не подходит). ... \( 13x = 39 \), зачеркнули 9, получили 3 (не подходит).

То есть \( 13x \) должно было оканчиваться на такую цифру, что при ее вычеркивании остается 3. Это возможно, если \( 13x \) было числом вида \( d3 \), где \( d \) — зачеркнутая цифра. Например, \( 3 \times 7 = 21 \). То есть \( y=3 \). Значит, \( 13x \) после зачеркивания последней цифры равно 3. Это может быть число 30, 31, 32, ..., 39. Если \( 13x = 30 \), то \( x = 30/13 \) (не натуральное).

Давайте предположим, что \( 13x \) после зачеркивания последней цифры стало \( y=3 \). Тогда \( 13x \) могло быть, например, 30, 31, 32, ..., 39. Наименьшее такое число, кратное 13, — это \( 13 \times 3 = 39 \). Если \( 13x = 39 \), то \( x = 39 / 13 = 3 \). Проверим: Сеня задумал 3. Умножил на 13: \( 3 \times 13 = 39 \). Зачеркнул последнюю цифру (9), получил 3. Умножил 3 на 7: \( 3 \times 7 = 21 \). Зачеркнул последнюю цифру (1), получил 2. Это не 21.

Вернемся к \( 7y = 21 \) (с учетом зачеркивания). Это означает, что \( 7y \) оканчивалось на такую цифру, что после ее вычеркивания получилось 21. Это возможно, если \( 7y \) было числом 210, 211, ..., 219. Но \( 7y \) должно быть кратно 7. Делим 210 на 7, получаем 30. Делим 217 на 7, получаем 31. Делим 210 на 7 = 30. Если \( y=30 \), то \( 7y = 210 \). Зачеркнули 0, получили 21. Это подходит.

Теперь \( 13x \) после зачеркивания последней цифры равно \( y=30 \). Значит, \( 13x \) оканчивалось на такую цифру, что при ее вычеркивании получилось 30. Это может быть число 300, 301, ..., 309. Нам нужно найти такое число в этом диапазоне, которое делится на 13. \( 13 \times 23 = 299 \). \( 13 \times 24 = 312 \). \( 13 \times 25 = 325 \). \( 13 \times 26 = 338 \). \( 13 \times 27 = 351 \). \( 13 \times 28 = 364 \). \( 13 \times 29 = 377 \). \( 13 \times 30 = 390 \).

Попробуем проверить \( x = 23 \). \( 13 \times 23 = 299 \). Зачеркнули 9, получили 29. Не 30.

Попробуем \( x = 24 \). \( 13 \times 24 = 312 \). Зачеркнули 2, получили 31. Не 30.

Попробуем \( x=3 \). \( 13 \times 3 = 39 \). Зачеркнули 9, получили 3. Это \( y=3 \). Тогда \( 7 \times y = 7 \times 3 = 21 \). Зачеркнули 1, получили 2. Это не 21.

Пусть \( N \) — число, которое задумал Сеня. \( 13N \) — результат первого умножения. Зачеркиваем последнюю цифру, получаем \( M \). \( 7M \) — результат второго умножения. Зачеркиваем последнюю цифру, получаем 21. Это значит, что \( 7M \) было числом вида \( 21d \), где \( d \) — зачеркнутая цифра. \( 7M \) должно делиться на 7. \( 210 / 7 = 30 \). \( 217 / 7 = 31 \). \( 210 = 7 \times 30 \). Значит, \( M=30 \). Зачеркнутая цифра была 0. \( 13N \) после зачеркивания последней цифры равно 30. Это означает, что \( 13N \) было числом вида \( 30d \), где \( d \) — зачеркнутая цифра. \( 13N \) должно делиться на 13. \( 300 / 13 \\text{не целое} \). \( 301 / 13 \text{не целое}. ... \). \( 13 \times 23 = 299 \). \( 13 \times 24 = 312 \).

Рассмотрим число \( 13N \). Пусть \( 13N = 10k + c \), где \( c \) — последняя цифра. После зачеркивания получили \( k \). Так что \( k=M=30 \). \( 10 \times 30 + c = 13N \) -> \( 300 + c = 13N \). \( c \) — последняя цифра \( 13N \). \( 13N \) должно оканчиваться на такую цифру \( c \), что \( 300+c \) делится на 13. \( 300 = 13 \times 23 + 1 \). Значит, \( 300+c = 13 \times 23 + 1 + c \). Чтобы \( 1 + c \) делилось на 13, \( c \) должно быть 12 (не цифра). Значит, \( 13N \) должно быть в диапазоне \( [300, 309] \). \( 13 \times 23 = 299 \) (меньше 300). \( 13 \times 24 = 312 \) (больше 309).

Ошибка в рассуждении. \( 7M \) оканчивалось на цифру \( d \) и после зачеркивания получилось 21. Значит, \( 7M = 210 + d \) или \( 7M = 21d \) (где \( d \) — цифра). \( 7M \) делится на 7. \( 210 \) делится на 7 (210/7=30). \( 217 \) делится на 7 (217/7=31). Таким образом, \( M=30 \) (зачеркнута 0) или \( M=31 \) (зачеркнута 7).

Случай 1: \( M=30 \). Тогда \( 13N \) после зачеркивания последней цифры равно 30. \( 13N \) = \( 30c \), где \( c \) - зачеркнутая цифра. \( 13N \) должно быть в диапазоне \( [300, 309] \). \( 13 \times 23 = 299 \). \( 13 \times 24 = 312 \). Нет числа, кратного 13, в диапазоне \( [300, 309] \).

Случай 2: \( M=31 \). Тогда \( 13N \) после зачеркивания последней цифры равно 31. \( 13N \) = \( 31c \), где \( c \) - зачеркнутая цифра. \( 13N \) должно быть в диапазоне \( [310, 319] \). \( 13 \times 24 = 312 \). Если \( 13N = 312 \), то \( N=24 \). Зачеркнутая цифра \( c = 2 \). Получаем 31. Это верно. \( M=31 \). Проверяем: \( 7 \times M = 7 \times 31 = 217 \). Зачеркнули последнюю цифру 7, получили 21. Это верно.

Итак, число, которое задумал Сеня, равно 24.

Ответ: 24