1. SC- перпендикуляр к пл-ти прямоугольного △ABC, ∠B=90°. Найдите расстояние от точки S до прямой AB, если AC=73см, SC=16см, AB=5см. 2. Плоскость B проходит через сторону MN. Сторона KL образует 30° с плоскостью B. Найдите синус угла между плоскостью B и KL, если MK=12см, KN=Bсм, MN=5см. 3. ABCDA1B1C1D1 - куб. Точка K - середина ребра A1D1. Найдите площадь сечения куба, проходящего через точки B, C1, K, если ребро куба равно 12 см.

1. Расстояние от точки до прямой

Дано:

SC ⊥ плоскости △ABC

△ABC - прямоугольный, ∠B = 90°

AC = 73 см

SC = 16 см

AB = 5 см

Найти: расстояние от S до AB.

Решение:

1. Так как SC перпендикулярно плоскости △ABC, то SC перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, SC ⊥ AB.
2. Рассмотрим прямоугольный △ASC. Он прямоугольный, так как SC ⊥ AC.
3. По теореме Пифагора найдем AS: \( AS^2 = SC^2 + AC^2 \)
4. \( AS^2 = 16^2 + 73^2 \)
5. \( AS^2 = 256 + 5329 \)
6. \( AS^2 = 5585 \)
7. \( AS = \sqrt{5585} \) см.
8. Теперь рассмотрим △ASB. Он прямоугольный, так как AB ⊥ SC.
9. По теореме Пифагора найдем SB: \( SB^2 = SC^2 + AB^2 \)
10. \( SB^2 = 16^2 + 5^2 \)
11. \( SB^2 = 256 + 25 \)
12. \( SB^2 = 281 \)
13. \( SB = \sqrt{281} \) см.
14. Расстояние от точки S до прямой AB — это длина перпендикуляра, опущенного из S на прямую AB. В данном случае таким перпендикуляром является SB, поскольку AB ⊥ SC, и SB является гипотенузой прямоугольного треугольника ASB.

Ответ: \( \sqrt{281} \) см.

2. Угол между плоскостью и прямой

Дано:

Плоскость B проходит через сторону MN.

KL — прямая.

Угол между KL и плоскостью B равен 30°.

MK = 12 см

KN = B см

MN = 5 см

Найти: синус угла между плоскостью B и KL.

Решение:

1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
2. В условии сказано, что угол между KL и плоскостью B равен 30°.
3. Следовательно, синус этого угла равен \( \sin(30°) \).
4. \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \).
5. Данные о длинах сторон (MK, KN, MN) избыточны для решения данной задачи, так как угол уже дан.

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

3. Площадь сечения куба

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб.

K — середина ребра A₁D₁.

Ребро куба = 12 см.

Найти: площадь сечения куба, проходящего через точки B, C₁, K.

Решение:

1. Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, C₁, K.
2. Точки B и C₁ принадлежат плоскости грани BB₁C₁C.
3. Точка K лежит на ребре A₁D₁.
4. Проведем прямую через K параллельно AD (так как A₁D₁ || AD). Эта прямая пересечет A₁B₁ в точке, назовем ее L.
5. Тогда KL || A₁D₁ || BC.
6. Плоскость сечения проходит через B, C₁, K.
7. Проведем прямую BC₁.
8. Проведем прямую C₁K.
9. Соединим точки B и K.
10. Сечение представляет собой прямоугольник BCC₁K.
11. Ребро куба равно 12 см.
12. BC = 12 см (ребро куба).
13. C₁C = 12 см (ребро куба).
14. A₁D₁ = 12 см.
15. K — середина A₁D₁, поэтому A₁K = KD₁ = 12/2 = 6 см.
16. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁KD₁.
17. По теореме Пифагора найдем C₁K: \( C₁K^2 = C₁D₁^2 + KD₁^2 \)
18. \( C₁K^2 = 12^2 + 6^2 \)
19. \( C₁K^2 = 144 + 36 \)
20. \( C₁K^2 = 180 \)
21. \( C₁K = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \) см.
22. Площадь прямоугольника BCC₁K равна произведению его сторон: \( S = BC \cdot C₁K \)
23. \( S = 12 \cdot 6\sqrt{5} \)
24. \( S = 72\sqrt{5} \) см².

Ответ: \( 72\sqrt{5} \) см².