1) Решите уравнение sin 2x = - sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Задание 1. Решение уравнения sin 2x = - sin x

Сначала раскроем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

Теперь уравнение примет вид:

\[ 2 \sin x \cos x = - \sin x \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ 2 \sin x \cos x + \sin x = 0 \]

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (2 \cos x + 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два простейших тригонометрических уравнения:

1) \( \sin x = 0 \)

Это означает, что \( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

2) \( 2 \cos x + 1 = 0 \)

Отсюда \( 2 \cos x = -1 \), значит \( \cos x = -\frac{1}{2} \).

Решениями этого уравнения будут \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Таким образом, общие корни уравнения:

\[ x = \pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad (k, n \in \mathbb{Z}) \]

Задание 2. Корни на отрезке [3π/2; 3π]

Нам нужно найти корни из найденных серий, которые попадают в промежуток от \( \frac{3\pi}{2} \) до \( 3\pi \).

Рассмотрим первую серию: \( x = \pi k \)

Подставим разные целые значения \( k \) и проверим, попадает ли \( x \) в заданный интервал:

• Если \( k = 1 \), то \( x = \pi \). Это меньше \( \frac{3\pi}{2} \).
• Если \( k = 2 \), то \( x = 2\pi = \frac{4\pi}{2} \). Это попадает в интервал \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).
• Если \( k = 3 \), то \( x = 3\pi \). Это попадает в интервал \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).
• Если \( k = 4 \), то \( x = 4\pi \). Это больше \( 3\pi \).

Значит, из первой серии подходят корни: \( x = 2\pi \) и \( x = 3\pi \).

Рассмотрим вторую серию: \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

Нам нужно, чтобы \( \frac{3\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi \).

Разделим всё на \( \pi \): \( \frac{3}{2} \le \frac{2}{3} + 2n \le 3 \).

Вычтем \( \frac{2}{3} \) из всех частей неравенства:

\[ \frac{3}{2} - \frac{2}{3} \le 2n \le 3 - \frac{2}{3} \]

\[ \frac{9 - 4}{6} \le 2n \le \frac{9 - 2}{3} \]

\[ \frac{5}{6} \le 2n \le \frac{7}{3} \]

Разделим на 2:

\[ \frac{5}{12} \le n \le \frac{7}{6} \]

Единственное целое значение \( n \) в этом интервале — \( n = 1 \).

Подставим \( n = 1 \) в формулу \( x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):

\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(1) = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \]

Проверим, попадает ли \( \frac{8\pi}{3} \) в интервал \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \). \( \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \), \( \frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{6} \), \( 3\pi = \frac{18\pi}{6} \). Да, \( \frac{9\pi}{6} \le \frac{16\pi}{6} \le \frac{18\pi}{6} \). Значит, \( x = \frac{8\pi}{3} \) — один из корней.

Рассмотрим третью серию: \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

Нам нужно, чтобы \( \frac{3\pi}{2} \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 3\pi \).

Разделим всё на \( \pi \): \( \frac{3}{2} \le -\frac{2}{3} + 2n \le 3 \).

Вычтем \( -\frac{2}{3} \) (то есть прибавим \( \frac{2}{3} \)) из всех частей неравенства:

\[ \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \le 2n \le 3 + \frac{2}{3} \]

\[ \frac{9 + 4}{6} \le 2n \le \frac{9 + 2}{3} \]

\[ \frac{13}{6} \le 2n \le \frac{11}{3} \]

Разделим на 2:

\[ \frac{13}{12} \le n \le \frac{11}{6} \]

Приблизительно \( 1.08 \le n \le 1.83 \).

Единственное целое значение \( n \) в этом интервале — \( n = 1 \).

Подставим \( n = 1 \) в формулу \( x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \):

\[ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(1) = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \]

Проверим, попадает ли \( \frac{4\pi}{3} \) в интервал \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \). \( \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6} \), \( \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} \). Так как \( \frac{8\pi}{6} < \frac{9\pi}{6} \), то \( x = \frac{4\pi}{3} \) не попадает в заданный интервал.

Итоговые корни на отрезке:

Из первой серии: \( 2\pi \) и \( 3\pi \).

Из второй серии: \( \frac{8\pi}{3} \).

Ответ: Корни уравнения: \( x = \pi k \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \) (где \( k, n \in \mathbb{Z} \). Корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \): \( \frac{8\pi}{3}, 2\pi, 3\pi \).