1) Решите уравнение: a) 9 + √x - 3 = x b) (1/4)^(2+3x) = 256 c) log3(4 – 6x) = 3 d) cos(x/3) = √2/2 e) 4^(x+2) + 4^(x-1) = 65 f) 2sin^2(x) + 3 cos x sin x + cos^2(x) = 1 g) 5^(2x) – 4 · 5^x – 5 = 0 2) Решите неравенство: a) log4(12 – 2x) > 2 b) (3/5)^(x^2-9) < 1

Решение:

1) Уравнения:

1. a) \( 9 + \sqrt{x} - 3 = x \)
   \( \sqrt{x} = x - 6 \)
   Возведем обе части в квадрат: \( x = (x - 6)^2 \)
   \( x = x^2 - 12x + 36 \)
   \( x^2 - 13x + 36 = 0 \)
   \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \)
   \( x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9 \)
   \( x_2 = \frac{13 - 5}{2} = 4 \)
   Проверка: \( \sqrt{9} = 9 - 6 \Rightarrow 3 = 3 \) (верно)
   \( \sqrt{4} = 4 - 6 \Rightarrow 2 = -2 \) (неверно)
   Ответ: \( x = 9 \).
2. b) \( \left(\frac{1}{4}\right)^{2+3x} = 256 \)
   \( \left(\frac{1}{4}\right)^{2+3x} = 4^4 \)
   \( \left(4^{-1}\right)^{2+3x} = 4^4 \)
   \( 4^{-2-3x} = 4^4 \)
   \( -2 - 3x = 4 \)
   \( -3x = 6 \)
   \( x = -2 \)
   Ответ: \( x = -2 \).
3. c) \( \log_3(4 - 6x) = 3 \)
   По определению логарифма: \( 4 - 6x = 3^3 \)
   \( 4 - 6x = 27 \)
   \( -6x = 23 \)
   \( x = -\frac{23}{6} \)
   ОДЗ: \( 4 - 6x > 0 \Rightarrow -6x > -4 \Rightarrow x < \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). \( -\frac{23}{6} < \frac{2}{3} \) (верно).
   Ответ: \( x = -\frac{23}{6} \).
4. d) \( \cos\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   \( \frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
   \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
   Ответ: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
5. e) \( 4^{x+2} + 4^{x-1} = 65 \)
   \( 4^x \cdot 4^2 + 4^x \cdot 4^{-1} = 65 \)
   \( 16 \cdot 4^x + \frac{1}{4} \cdot 4^x = 65 \)
   \( 4^x \left(16 + \frac{1}{4}\right) = 65 \)
   \( 4^x \left(\frac{64+1}{4}\right) = 65 \)
   \( 4^x \cdot \frac{65}{4} = 65 \)
   \( 4^x = 4 \)
   \( x = 1 \)
   Ответ: \( x = 1 \).
6. f) \( 2\sin^2 x + 3 \cos x \sin x + \cos^2 x = 1 \)
   Заменим 1 на \( \sin^2 x + \cos^2 x \):
   \( 2\sin^2 x + 3 \cos x \sin x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x \)
   \( \sin^2 x + 3 \cos x \sin x = 0 \)
   \( \sin x (\sin x + 3 \cos x) = 0 \)
   Значит, \( \sin x = 0 \) или \( \sin x + 3 \cos x = 0 \).
   Если \( \sin x = 0 \), то \( x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
   Если \( \sin x + 3 \cos x = 0 \), то \( \tan x = -3 \) (делим на \( \cos x \), предполагая \( \cos x \neq 0 \)).
   \( x = \arctan(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).
   Ответ: \( x = \pi k \) или \( x = \arctan(-3) + \pi n, k, n \in \mathbb{Z} \).
7. g) \( 5^{2x} - 4 \cdot 5^x - 5 = 0 \)
   Пусть \( y = 5^x \), тогда \( y^2 = 5^{2x} \).
   \( y^2 - 4y - 5 = 0 \)
   \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)
   \( y_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \)
   \( y_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \)
   Так как \( y = 5^x > 0 \), то \( y = -1 \) не подходит.
   \( 5^x = 5 \Rightarrow x = 1 \)
   Ответ: \( x = 1 \).

2) Неравенство:

• a) \( \log_4(12 - 2x) > 2 \)
  ОДЗ: \( 12 - 2x > 0 \Rightarrow -2x > -12 \Rightarrow x < 6 \).
  Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), то:
  \( 12 - 2x > 4^2 \)
  \( 12 - 2x > 16 \)
  \( -2x > 4 \)
  \( x < -2 \)
  Учитывая ОДЗ \( x < 6 \), получаем \( x < -2 \).
  Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \).
• b) \( \left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-9} < 1 \)
  Так как основание степени \( \frac{3}{5} < 1 \), то показатель степени должен быть больше, чем показатель степени у правой части (1 = (3/5)^0):
  \( x^2 - 9 > 0 \)
  \( x^2 > 9 \)
  \( x < -3 \) или \( x > 3 \)
  Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \).