1) Решите уравнение 2sin^2 x = sin x. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]. Решение.

Решение:

1. Решение уравнения 2sin²x = sin x:
   1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
      \[ 2\sin^2 x - \sin x = 0 \]
   2. Вынесем общий множитель \(\sin x\) за скобки:
      \[ \sin x (2\sin x - 1) = 0 \]
   3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
      \[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x - 1 = 0 \]
   4. Решим первое уравнение:
      \[ \sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
   5. Решим второе уравнение:
      \[ 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} \]
      \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
2. Поиск корней на отрезке [5π/2; 4π]:
   1. Для серии корней x = πn:
      Нам нужно найти такие целые числа n, чтобы
      \[ \frac{5\pi}{2} \le \pi n \le 4\pi \]
      Разделим все части неравенства на \(\pi\):
      \[ \frac{5}{2} \le n \le 4 \]
      \[ 2.5 \le n \le 4 \]
      Целые числа n, удовлетворяющие этому неравенству, это 3 и 4.
      При n = 3: \( x = 3\pi \)
      При n = 4: \( x = 4\pi \)
   2. Для серии корней x = π/6 + 2πk:
      Нам нужно найти такие целые числа k, чтобы
      \[ \frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi \]
      Разделим все части неравенства на \(\pi\):
      \[ \frac{5}{2} \le \frac{1}{6} + 2k \le 4 \]
      Вычтем 1/6 из всех частей:
      \[ \frac{5}{2} - \frac{1}{6} \le 2k \le 4 - \frac{1}{6} \]
      \[ \frac{15}{6} - \frac{1}{6} \le 2k \le \frac{24}{6} - \frac{1}{6} \]
      \[ \frac{14}{6} \le 2k \le \frac{23}{6} \]
      \[ \frac{7}{3} \le 2k \le \frac{23}{6} \]
      Разделим все части на 2:
      \[ \frac{7}{6} \le k \le \frac{23}{12} \]
      \[ 1.16... \le k \le 1.91... \]
      Целое число k, удовлетворяющее этому неравенству, это 1.
      При k = 1: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(1) = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \)
   3. Для серии корней x = 5π/6 + 2πk:
      Нам нужно найти такие целые числа k, чтобы
      \[ \frac{5\pi}{2} \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 4\pi \]
      Разделим все части неравенства на \(\pi\):
      \[ \frac{5}{2} \le \frac{5}{6} + 2k \le 4 \]
      Вычтем 5/6 из всех частей:
      \[ \frac{5}{2} - \frac{5}{6} \le 2k \le 4 - \frac{5}{6} \]
      \[ \frac{15}{6} - \frac{5}{6} \le 2k \le \frac{24}{6} - \frac{5}{6} \]
      \[ \frac{10}{6} \le 2k \le \frac{19}{6} \]
      \[ \frac{5}{3} \le 2k \le \frac{19}{6} \]
      Разделим все части на 2:
      \[ \frac{5}{6} \le k \le \frac{19}{12} \]
      \[ 0.83... \le k \le 1.58... \]
      Целое число k, удовлетворяющее этому неравенству, это 1.
      При k = 1: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(1) = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \)

Ответ: Корни уравнения: \(x = \pi n\), \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\). Корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]: \(3\pi\), \(4\pi\), \(\frac{13\pi}{6}\), \(\frac{17\pi}{6}\).