1) Решите уравнение 2sin^2 x - 3 sin x - 2 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π].

Решение:

1) Решим уравнение \( 2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0 \).

Введём замену \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение:

\[ 2t^2 - 3t - 2 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Вернёмся к замене \( t = \sin x \):

\( \sin x = 2 \) — решений нет, так как \( \sin x \) может принимать значения только от -1 до 1.

\( \sin x = -\frac{1}{2} \)

Решения этого уравнения:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \]

где \( k \) — целое число.

2) Найдем корни, принадлежащие отрезку \( [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] \).

Рассмотрим первую серию корней: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

• При \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6} \).

Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку:

\[ -\frac{5\pi}{2} = -\frac{15\pi}{6} \]

\( -\frac{15\pi}{6} \le -\frac{13\pi}{6} \le -\frac{12\pi}{6} \)

Корень \( x = -\frac{13\pi}{6} \) принадлежит отрезку.

Рассмотрим вторую серию корней: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).

• При \( k = -1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \).

Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку:

\[ -\frac{15\pi}{6} \le -\frac{5\pi}{6} \]

\( -\frac{5\pi}{6} > -\pi = -\frac{6\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку.

При \( k = -2 \): \( x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = \frac{7\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{17\pi}{6} \).

Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку:

\[ -\frac{15\pi}{6} \ge -\frac{17\pi}{6} \]

Корень \( x = -\frac{17\pi}{6} \) не принадлежит отрезку.

Ответ: 1) \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число. 2) \( -\frac{13\pi}{6} \).