1) Решите систему уравнений: √x + y − 1 = 1, l√y − x + 2 = 2x − 2.

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений вместе. Она кажется сложной, но мы справимся, если пойдем шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение

У нас есть:

\[ \sqrt{x + y - 1} = 1 \]

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x + y - 1})^2 = 1^2 \]

\[ x + y - 1 = 1 \]

Теперь выразим y через x:

\[ y = 1 + 1 - x \]

\[ y = 2 - x \]

Шаг 2: Подставим во второе уравнение

Теперь, когда мы знаем, чему равен y, подставим это выражение во второе уравнение:

\[ \sqrt{y - x + 2} = 2x - 2 \]

Заменим y на (2 - x):

\[ \sqrt{(2 - x) - x + 2} = 2x - 2 \]

\[ \sqrt{4 - 2x} = 2x - 2 \]

Шаг 3: Решим второе уравнение

Снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt{4 - 2x})^2 = (2x - 2)^2 \]

\[ 4 - 2x = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 2 + 2^2 \]

\[ 4 - 2x = 4x^2 - 8x + 4 \]

Перенесем все в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 4x^2 - 8x + 4 - 4 + 2x = 0 \]

\[ 4x^2 - 6x = 0 \]

Вынесем общий множитель 2x:

\[ 2x(2x - 3) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для x:

1. \( 2x = 0 \implies x = 0 \)

2. \( 2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \)

Шаг 4: Проверим найденные значения x

Важно помнить, что когда мы возводим в квадрат, можем получить «лишние» корни. Поэтому нужно проверить, подходят ли найденные значения x для исходных уравнений.

Проверка для x = 0:

Найдем соответствующее y:

\[ y = 2 - x = 2 - 0 = 2 \]

Теперь подставим x = 0 и y = 2 во второе исходное уравнение:\[ \sqrt{y - x + 2} = 2x - 2 \]

\[ \sqrt{2 - 0 + 2} = 2(0) - 2 \]

\[ \sqrt{4} = -2 \]

\[ 2 = -2 \]

Это неверно. Значит, x = 0 не является решением.

Проверка для x = 3/2:

Найдем соответствующее y:

\[ y = 2 - x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]

Теперь подставим x = 3/2 и y = 1/2 во второе исходное уравнение:

\[ \sqrt{y - x + 2} = 2x - 2 \]

\[ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 2} = 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 \]

\[ \sqrt{\frac{1 - 3}{2} + 2} = 3 - 2 \]

\[ \sqrt{\frac{-2}{2} + 2} = 1 \]

\[ \sqrt{-1 + 2} = 1 \]

\[ \sqrt{1} = 1 \]

\[ 1 = 1 \]

Это верно! Значит, x = 3/2 и y = 1/2 — это решение.

Ответ: (3/2; 1/2)