1. Решите систему уравнений: a) {1/x - 2/y = 5, 4/x + 4/y = 13} б) {16/(2x+y) + 15/(x-y) = 7, 12/(2x+y) + 25/(x-y) = 8} B) {x^2 - 15/y = 9, 9/y + x^2 = 0,4}

Решение:

а)

1. Пусть \( a = \frac{1}{x} \) и \( b = \frac{1}{y} \).
2. Система принимает вид:

\(\begin{cases}\) a - 2b = 5 \\ 4a + 4b = 13 \(\end{cases}\)

1. Умножим первое уравнение на 2:

\(\begin{cases}\) 2a - 4b = 10 \\ 4a + 4b = 13 \(\end{cases}\)

1. Сложим уравнения:

\( 6a = 23 \implies a = \frac{23}{6} \)

Подставим \( a \) в первое уравнение:

\( \frac{23}{6} - 2b = 5 \implies -2b = 5 - \frac{23}{6} = \frac{30-23}{6} = \frac{7}{6} \implies b = -\frac{7}{12} \)

Так как \( a = \frac{1}{x} \) и \( b = \frac{1}{y} \):

\( x = \frac{1}{a} = \frac{6}{23} \)
\( y = \frac{1}{b} = -\frac{12}{7} \)

Ответ: \( x = \frac{6}{23}, y = -\frac{12}{7} \).

---

б)

1. Пусть \( u = \frac{1}{2x+y} \) и \( v = \frac{1}{x-y} \).
2. Система принимает вид:

\(\begin{cases}\) 16u + 15v = 7 \\ 12u + 25v = 8 \(\end{cases}\)

1. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4:

\(\begin{cases}\) 48u + 45v = 21 \\ 48u + 100v = 32 \(\end{cases}\)

1. Вычтем первое уравнение из второго:

\( 55v = 11 \implies v = \frac{11}{55} = \frac{1}{5} \)

Подставим \( v \) в первое уравнение:

\( 16u + 15 \cdot \frac{1}{5} = 7 \implies 16u + 3 = 7 \implies 16u = 4 \implies u = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)

Так как \( u = \frac{1}{2x+y} \) и \( v = \frac{1}{x-y} \):

\( 2x+y = \frac{1}{u} = 4 \)
\( x-y = \frac{1}{v} = 5 \)

1. Решим полученную систему:

\(\begin{cases}\) 2x+y = 4 \\ x-y = 5 \(\end{cases}\)

1. Сложим уравнения:

\( 3x = 9 \implies x = 3 \)

Подставим \( x \) в первое уравнение:

\( 2(3) + y = 4 \implies 6 + y = 4 \implies y = -2 \)

Ответ: \( x=3, y=-2 \).

---

B)

1. Система имеет вид:

\(\begin{cases}\) x^2 - \(\frac{15}{y}\) = 9 \\ \(\frac{9}{y}\) + x^2 = 0,4 \(\end{cases}\)

1. Выразим \( x^2 \) из второго уравнения: \( x^2 = 0,4 - \frac{9}{y} \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение:

\( \left(0,4 - \frac{9}{y}\right) - \frac{15}{y} = 9 \)
\( 0,4 - \frac{24}{y} = 9 \)
\( -\frac{24}{y} = 9 - 0,4 = 8,6 \)
\( y = -\frac{24}{8,6} = -\frac{240}{86} = -\frac{120}{43} \)

Найдем \( x^2 \):

\( x^2 = 0,4 - \frac{9}{-\frac{120}{43}} = \frac{4}{10} + \frac{9 \cdot 43}{120} = \frac{2}{5} + \frac{387}{120} = \frac{48}{120} + \frac{387}{120} = \frac{435}{120} = \frac{29}{8} \)

Тогда \( x = \pm\sqrt{\frac{29}{8}} = \pm\frac{\sqrt{29}}{2\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{58}}{4} \)

Ответ: \( x=\pm\frac{\sqrt{58}}{4}, y=-\frac{120}{43} \).