1. Решите систему способом сложения: a) { 2x + 3y = 13 4x - y = 5 б) { 3x - 2y = 7 -4x + 3y = -7 в) { x/2 + y/3 = 2 2x - 3y = -5

Привет! Давай разберёмся с этими системами уравнений. Будем решать их способом сложения, как и просили.

1. Задание а)

• У нас есть система:\[ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x - y = 5 \end{cases} \]
• Чтобы использовать метод сложения, нам нужно, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными. Удобнее всего избавиться от y. Умножим второе уравнение на 3:

Новое второе уравнение:

• \[ 3 \cdot (4x - y) = 3 \cdot 5 \]
• \[ 12x - 3y = 15 \]

Теперь система выглядит так:

• \[ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 12x - 3y = 15 \end{cases} \]
• Сложим оба уравнения:

\[ (2x + 3y) + (12x - 3y) = 13 + 15 \]

\[ 14x = 28 \]

\[ x = \frac{28}{14} \]

\[ x = 2 \]

Теперь подставим найденное значение x в любое из исходных уравнений, например, во второе (4x - y = 5):

• \[ 4 \cdot 2 - y = 5 \]
• \[ 8 - y = 5 \]
• \[ -y = 5 - 8 \]
• \[ -y = -3 \]
• \[ y = 3 \]

Ответ к а): x = 2, y = 3

1. Задание б)

• Система:\[ \begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ -4x + 3y = -7 \end{cases} \]
• Здесь нужно умножить первое уравнение на 3, а второе — на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными (-6y и +6y):

Первое уравнение умножаем на 3:

• \[ 3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 7 \]
• \[ 9x - 6y = 21 \]

Второе уравнение умножаем на 2:

• \[ 2 \cdot (-4x + 3y) = 2 \cdot (-7) \]
• \[ -8x + 6y = -14 \]

Новая система:

• \[ \begin{cases} 9x - 6y = 21 \\ -8x + 6y = -14 \end{cases} \]
• Сложим уравнения:

\[ (9x - 6y) + (-8x + 6y) = 21 + (-14) \]

\[ x = 7 \]

Подставим x = 7 в первое уравнение (3x - 2y = 7):

• \[ 3 \cdot 7 - 2y = 7 \]
• \[ 21 - 2y = 7 \]
• \[ -2y = 7 - 21 \]
• \[ -2y = -14 \]
• \[ y = 7 \]

Ответ к б): x = 7, y = 7

1. Задание в)

• Система:\[ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 2x - 3y = -5 \end{cases} \]
• Сначала упростим первое уравнение, чтобы избавиться от дробей. Умножим его на общий знаменатель (6):

Первое уравнение:

• \[ 6 \cdot \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \right) = 6 \cdot 2 \]
• \[ 3x + 2y = 12 \]

Теперь система выглядит так:

• \[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 2x - 3y = -5 \end{cases} \]
• Умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными (+6y и -6y):

Первое уравнение на 3:

• \[ 3 \cdot (3x + 2y) = 3 \cdot 12 \]
• \[ 9x + 6y = 36 \]

Второе уравнение на 2:

• \[ 2 \cdot (2x - 3y) = 2 \cdot (-5) \]
• \[ 4x - 6y = -10 \]

Сложим полученные уравнения:

• \[ (9x + 6y) + (4x - 6y) = 36 + (-10) \]
• \[ 13x = 26 \]
• \[ x = \frac{26}{13} \]
• \[ x = 2 \]

Подставим x = 2 во второе уравнение (2x - 3y = -5):

• \[ 2 \cdot 2 - 3y = -5 \]
• \[ 4 - 3y = -5 \]
• \[ -3y = -5 - 4 \]
• \[ -3y = -9 \]
• \[ y = 3 \]

Ответ к в): x = 2, y = 3

2. Задание а)

• Система:\[ \begin{cases} y + x = 4 \\ y - x = 2 \end{cases} \]
• Это простейшая система! Её тоже можно решить способом сложения. Сложим уравнения:

\[ (y + x) + (y - x) = 4 + 2 \]

\[ 2y = 6 \]

\[ y = 3 \]

Теперь подставим y = 3 в первое уравнение (y + x = 4):

• \[ 3 + x = 4 \]
• \[ x = 4 - 3 \]
• \[ x = 1 \]

Ответ к а): x = 1, y = 3

2. Задание б)

• Система:\[ \begin{cases} 4x + y = 3 \\ x + 4y = -3 \end{cases} \]
• Давай умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при y стали одинаковыми (4y):

Первое уравнение на 4:

• \[ 4 \cdot (4x + y) = 4 \cdot 3 \]
• \[ 16x + 4y = 12 \]

Теперь система:

• \[ \begin{cases} 16x + 4y = 12 \\ x + 4y = -3 \end{cases} \]
• Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от y:

\[ (16x + 4y) - (x + 4y) = 12 - (-3) \]

\[ 16x + 4y - x - 4y = 12 + 3 \]

\[ 15x = 15 \]

\[ x = 1 \]

Подставим x = 1 во второе уравнение (x + 4y = -3):

• \[ 1 + 4y = -3 \]
• \[ 4y = -3 - 1 \]
• \[ 4y = -4 \]
• \[ y = -1 \]

Ответ к б): x = 1, y = -1