1. Решите систему способом сложения: a) {2x + 3y = 13, 4x - y = 5} б) {3x - 2y = 7, -4x + 3y = -7} в) {x/2 + y/3 = 2, 2x - 3y = -5}

Решение:

1. Задание а)

1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:
• \( (2x + 3y = 13) \cdot 2 \implies 4x + 6y = 26 \)
• \( 4x - y = 5 \)
2. Сложим уравнения:
• \( (4x + 6y) + (4x - y) = 26 + 5 \)
• \( 8x + 5y = 31 \)
3. Выразим x через y из второго уравнения:
• \( 4x = 5 + y \)
• \( x = \frac{5+y}{4} \)
4. Подставим полученное значение x в первое уравнение:
• \( 2 \left( \frac{5+y}{4} \right) + 3y = 13 \)
• \( \frac{5+y}{2} + 3y = 13 \)
• \( 5 + y + 6y = 26 \)
• \( 7y = 21 \)
• \( y = 3 \)
5. Подставим найденное значение y в выражение для x:
• \( x = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

Ответ: \( x=2, y=3 \)

2. Задание б)

1. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 1, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:
• \( (3x - 2y = 7) \cdot 2 \implies 6x - 4y = 14 \)
• \( (-4x + 3y = -7) \cdot 1 \implies -4x + 3y = -7 \)
2. Сложим уравнения:
• \( (6x - 4y) + (-4x + 3y) = 14 + (-7) \)
• \( 2x - y = 7 \)
3. Выразим y через x из первого уравнения:
• \( 2y = 3x - 7 \)
• \( y = \frac{3x - 7}{2} \)
4. Подставим полученное значение y во второе уравнение:
• \( -4x + 3 \left( \frac{3x - 7}{2} \right) = -7 \)
• \( -8x + 3(3x - 7) = -14 \)
• \( -8x + 9x - 21 = -14 \)
• \( x = 7 \)
5. Подставим найденное значение x в выражение для y:
• \( y = \frac{3(7) - 7}{2} = \frac{21 - 7}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

Ответ: \( x=7, y=7 \)

3. Задание в)

1. Приведём второе уравнение к общему знаменателю:
• \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \implies \frac{3x + 2y}{6} = 2 \implies 3x + 2y = 12 \)
• \( 2x - 3y = -5 \)
2. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:
• \( (3x + 2y = 12) \cdot 3 \implies 9x + 6y = 36 \)
• \( (2x - 3y = -5) \cdot 2 \implies 4x - 6y = -10 \)
3. Сложим уравнения:
• \( (9x + 6y) + (4x - 6y) = 36 + (-10) \)
• \( 13x = 26 \)
• \( x = 2 \)
4. Подставим найденное значение x в первое уравнение:
• \( 3(2) + 2y = 12 \)
• \( 6 + 2y = 12 \)
• \( 2y = 6 \)
• \( y = 3 \)

Ответ: \( x=2, y=3 \)