1. Решите неравенство: a) \(\frac{1}{6}x < 5;\ б) 1 - 3x \le 0;\ в) 5(y - 1,2) - 4,6 > 3y + 1. 2. При каких а значение дроби \(\frac{7+a}{3}\) меньше соответствующего значения дроби \(\frac{12-a}{2}\)? 3. Решите систему неравенств: a) \(\begin{cases} 2x - 3 > 0, \\ 7x + 4 > 0; \end{cases}\ б) \(\begin{cases} 3 - 2x < 1, \\ 1,6 + x < 2,9. \end{cases} 4. Найдите целые решения системы неравенств \(\begin{cases} 6 - 2x < 3(x - 1), \\ 6 - \frac{x}{2} > x. \end{cases} 5. При каких значениях х имеет смысл выражение \(\sqrt{3x - 2} + \sqrt{6 - x}\)? 6. При каких значениях а множеством решений неравенства \(3x - 7 < \frac{a}{3}\) является числовой промежуток (-∞; 4)?

Задание 1. Решите неравенство:

а) \( \frac{1}{6}x < 5 \)

Чтобы решить это неравенство, умножим обе части на 6:

\[ x < 5 \cdot 6 \]

\[ x < 30 \]

Ответ: \( x < 30 \).

б) \( 1 - 3x \le 0 \)

Перенесём 1 в правую часть:

\[ -3x \le -1 \]

Разделим обе части на -3 и поменяем знак неравенства на противоположный:

\[ x \ge \frac{-1}{-3} \]

\[ x \ge \frac{1}{3} \]

Ответ: \( x \ge \frac{1}{3} \).

в) \( 5(y - 1,2) - 4,6 > 3y + 1 \)

Раскроем скобки:

\[ 5y - 6 - 4,6 > 3y + 1 \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 5y - 10,6 > 3y + 1 \]

Перенесём члены с \( y \) в левую часть, а числа — в правую:

\[ 5y - 3y > 1 + 10,6 \]

\[ 2y > 11,6 \]

Разделим обе части на 2:

\[ y > \frac{11,6}{2} \]

\[ y > 5,8 \]

Ответ: \( y > 5,8 \).

Задание 2. При каких \( a \) значение дроби \( \frac{7+a}{3} \) меньше соответствующего значения дроби \( \frac{12-a}{2} \)?

Нам нужно решить неравенство:

\[ \frac{7+a}{3} < \frac{12-a}{2} \]

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное чисел 3 и 2, то есть на 6:

\[ 6 \cdot \frac{7+a}{3} < 6 \cdot \frac{12-a}{2} \]

\[ 2(7+a) < 3(12-a) \]

Раскроем скобки:

\[ 14 + 2a < 36 - 3a \]

Перенесём члены с \( a \) в левую часть, а числа — в правую:

\[ 2a + 3a < 36 - 14 \]

\[ 5a < 22 \]

Разделим обе части на 5:

\[ a < \frac{22}{5} \]

\[ a < 4,4 \]

Ответ: \( a < 4,4 \).

Задание 3. Решите систему неравенств:

а) \(\begin{cases} 2x - 3 > 0, \\ 7x + 4 > 0; \end{cases}\)

1. Решим первое неравенство:

\[ 2x > 3 \implies x > \frac{3}{2} \]

2. Решим второе неравенство:

\[ 7x > -4 \implies x > -\frac{4}{7} \]

Найдём пересечение решений: \( x > \frac{3}{2} \) и \( x > -\frac{4}{7} \). Оба условия выполняются, когда \( x > \frac{3}{2} \).

Ответ: \( x > \frac{3}{2} \).

б) \(\begin{cases} 3 - 2x < 1, \\ 1,6 + x < 2,9. \end{cases}\)

1. Решим первое неравенство:

\[ -2x < 1 - 3 \implies -2x < -2 \implies x > 1 \]

2. Решим второе неравенство:

\[ x < 2,9 - 1,6 \implies x < 1,3 \]

Найдём пересечение решений: \( x > 1 \) и \( x < 1,3 \). Оба условия выполняются, когда \( 1 < x < 1,3 \).

Ответ: \( 1 < x < 1,3 \).

Задание 4. Найдите целые решения системы неравенств

Система:

\[ \begin{cases} 6 - 2x < 3(x - 1), \\ 6 - \frac{x}{2} > x. \end{cases} \]

1. Решим первое неравенство:

\[ 6 - 2x < 3x - 3 \]

\[ 6 + 3 < 3x + 2x \]

\[ 9 < 5x \]

\[ x > \frac{9}{5} \implies x > 1,8 \]

2. Решим второе неравенство:

\[ 6 - \frac{x}{2} > x \]

Умножим обе части на 2:

\[ 12 - x > 2x \]

\[ 12 > 2x + x \]

\[ 12 > 3x \]

\[ x < \frac{12}{3} \implies x < 4 \]

Найдём пересечение решений: \( x > 1,8 \) и \( x < 4 \). Таким образом, \( 1,8 < x < 4 \).

Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это 2 и 3.

Ответ: 2, 3.

Задание 5. При каких значениях \( x \) имеет смысл выражение \(\sqrt{3x - 2} + \sqrt{6 - x}\)?

Выражение имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны:

1. \( 3x - 2 \ge 0 \)

\[ 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3} \]

2. \( 6 - x \ge 0 \)

\[ 6 \ge x \implies x \le 6 \]

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, \( x \) должен принадлежать промежутку, который является пересечением \( [\frac{2}{3}; +\infty) \) и \( (- \infty; 6] \).

Пересечение этих промежутков: \( \frac{2}{3} \le x \le 6 \).

Ответ: \( x \in [\frac{2}{3}; 6] \).

Задание 6. При каких значениях \( a \) множеством решений неравенства \( 3x - 7 < \frac{a}{3} \) является числовой промежуток (-∞; 4)?

Сначала решим данное неравенство относительно \( x \):

\[ 3x - 7 < \frac{a}{3} \]

Прибавим 7 к обеим частям:

\[ 3x < \frac{a}{3} + 7 \]

Разделим обе части на 3:

\[ x < \frac{1}{3} \left( \frac{a}{3} + 7 \right) \]

\[ x < \frac{a}{9} + \frac{7}{3} \]

Известно, что множеством решений является промежуток \( (-\infty; 4) \). Это означает, что правая граница нашего решения должна быть равна 4:

\[ \frac{a}{9} + \frac{7}{3} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:

\[ a + 9 \cdot \frac{7}{3} = 9 \cdot 4 \]

\[ a + 3 \cdot 7 = 36 \]

\[ a + 21 = 36 \]

\[ a = 36 - 21 \]

\[ a = 15 \]

Проверим: если \( a = 15 \), то неравенство имеет вид \( 3x - 7 < \frac{15}{3} \), то есть \( 3x - 7 < 5 \), \( 3x < 12 \), \( x < 4 \). Это соответствует условию задачи.

Ответ: \( a = 15 \).