1. Решите графически систему уравнений: { 3x + y = 1, x - y = 3. 2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений: a) { 5x + y = 2, 3x - 3y = 1; б) { 2y - 3x = 2, 9x - 6y = 5; в) { 3x - 4y = 1, 8y - 6x = -2.

1. Графическое решение системы уравнений:

Для решения системы графически, построим графики обоих уравнений. Для этого найдем координаты двух точек для каждого уравнения.

Первое уравнение: 3x + y = 1

• Если x = 0, то y = 1. Точка: (0, 1).
• Если y = 0, то 3x = 1, x = 1/3. Точка: (1/3, 0).

Второе уравнение: x - y = 3

• Если x = 0, то -y = 3, y = -3. Точка: (0, -3).
• Если y = 0, то x = 3. Точка: (3, 0).

Построим эти точки на координатной плоскости и проведем через них прямые. Точка пересечения этих прямых и будет решением системы.

canvas id='graphCanvas1' width='400' height='300'>

Графики пересекаются в точке (1, -2).

Ответ: (1, -2)

2. Определение количества решений системы уравнений без построений:

Для определения количества решений системы уравнений вида:

\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]

Используем следующие условия:

• Если a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2, то система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают).
• Если a_1/a_2 = b_1/b_2 != c_1/c_2, то система не имеет решений (прямые параллельны).
• Если a_1/a_2 != b_1/b_2, то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

а) Система:

\[ \begin{cases} 5x + y = 2 \\ 3x - 3y = 1 \end{cases} \]

a_1 = 5, b_1 = 1, c_1 = 2

a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = 1

a_1/a_2 = 5/3

b_1/b_2 = 1/(-3) = -1/3

Так как 5/3 != -1/3, то система имеет одно решение.

б) Система:

\[ \begin{cases} 2y - 3x = 2 \\ 9x - 6y = 5 \end{cases} \]

Перепишем в стандартном виде: -3x + 2y = 2

a_1 = -3, b_1 = 2, c_1 = 2

a_2 = 9, b_2 = -6, c_2 = 5

a_1/a_2 = -3/9 = -1/3

b_1/b_2 = 2/(-6) = -1/3

c_1/c_2 = 2/5

Так как -1/3 = -1/3 != 2/5, то система не имеет решений.

в) Система:

\[ \begin{cases} 3x - 4y = 1 \\ 8y - 6x = -2 \end{cases} \]

Перепишем в стандартном виде: -6x + 8y = -2

a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 1

a_2 = -6, b_2 = 8, c_2 = -2

a_1/a_2 = 3/(-6) = -1/2

b_1/b_2 = -4/8 = -1/2

c_1/c_2 = 1/(-2) = -1/2

Так как -1/2 = -1/2 = -1/2, то система имеет бесконечное множество решений.