1) Решить ур-е: log₂(3x - 4,3) = 1 2) Решить нер-во: log₃ x > 1 log₂(7 - 3x) < 1 3) Вычислите: a) log₂ 1/2 ; log₂ 2 ; log₂ 8 b) log₂ 32 + log₂ 4 log₄ 72 - log₄ 2

Задание 1. Решить уравнение: \( \log_2(3x - 4,3) = 1 \)

Чтобы решить это логарифмическое уравнение, мы можем переписать его в экспоненциальной форме. По определению логарифма, если \( \log_b a = c \), то \( b^c = a \). В нашем случае \( b=2 \), \( c=1 \) и \( a = 3x - 4,3 \).

1. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: \[ 2^1 = 3x - 4,3 \]
2. Упростим: \[ 2 = 3x - 4,3 \]
3. Прибавим 4,3 к обеим сторонам уравнения: \[ 2 + 4,3 = 3x \]
4. Получим: \[ 6,3 = 3x \]
5. Разделим обе стороны на 3: \[ x = \frac{6,3}{3} \]
6. Вычислим: \[ x = 2,1 \]

Ответ: \( x = 2,1 \)

Задание 2. Решить неравенства

Первое неравенство: \( \log_3 x > 1 \)

1. Основание логарифма (3) больше 1, поэтому при переходе к показательной форме знак неравенства сохраняется.
2. Перепишем неравенство в экспоненциальной форме: \[ x > 3^1 \]
3. Упростим: \[ x > 3 \]

Второе неравенство: \( \log_2(7 - 3x) < 1 \)

1. Сначала учтем область определения логарифма: аргумент логарифма должен быть больше нуля.
2. \( 7 - 3x > 0 \)
3. \( 7 > 3x \)
4. \( x < \frac{7}{3} \)
5. Теперь решим само неравенство. Основание логарифма (2) больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется.
6. Перепишем неравенство в экспоненциальной форме: \[ 7 - 3x < 2^1 \]
7. Упростим: \[ 7 - 3x < 2 \]
8. Вычтем 7 из обеих сторон: \[ -3x < 2 - 7 \]
9. \( -3x < -5 \)
10. Разделим обе стороны на -3 и сменим знак неравенства: \[ x > \frac{-5}{-3} \]
11. \( x > \frac{5}{3} \)
12. Теперь объединим оба условия: \( x < \frac{7}{3} \) и \( x > \frac{5}{3} \).
13. \( \frac{5}{3} < x < \frac{7}{3} \)

Ответ: \( x > 3 \) и \( \frac{5}{3} < x < \frac{7}{3} \)

Задание 3. Вычислите

а) \( \log_2 \frac{1}{2} ; \log_2 2 ; \log_2 8 \)

1. \( \log_2 \frac{1}{2} \): Какой степенью нужно возвести 2, чтобы получить \( \frac{1}{2} \)? Это \( -1 \), потому что \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \).
2. \( \log_2 2 \): Какой степенью нужно возвести 2, чтобы получить 2? Это \( 1 \), потому что \( 2^1 = 2 \).
3. \( \log_2 8 \): Какой степенью нужно возвести 2, чтобы получить 8? Это \( 3 \), потому что \( 2^3 = 8 \).

б) \( \log_2 32 + \log_2 4 \)

1. Сначала вычислим каждый логарифм отдельно:
2. \( \log_2 32 \): \( 2^5 = 32 \), значит, \( \log_2 32 = 5 \).
3. \( \log_2 4 \): \( 2^2 = 4 \), значит, \( \log_2 4 = 2 \).
4. Теперь сложим результаты: \( 5 + 2 = 7 \).
5. *Альтернативный способ:* Используем свойство логарифмов \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M × N) \).
6. \( \log_2 32 + \log_2 4 = \log_2 (32 × 4) = \log_2 128 \).
7. \( 2^7 = 128 \), значит, \( \log_2 128 = 7 \).

в) \( \log_4 72 - \log_4 2 \)

1. Используем свойство логарифмов \( \log_b M - \log_b N = \log_b (\frac{M}{N}) \).
2. \( \log_4 72 - \log_4 2 = \log_4 (\frac{72}{2}) \)
3. \( \log_4 36 \)
4. Теперь найдем значение этого логарифма. Какой степенью нужно возвести 4, чтобы получить 36? Это не целое число. Возможна ошибка в условии. Если бы было \( \log_4 64 \), то ответ был бы 3 (так как \( 4^3 = 64 \)). Если бы было \( \log_4 16 \), то ответ был бы 2 (так как \( 4^2 = 16 \)).
5. Если предположить, что имелось в виду \( \log_4 72 - \log_4 8 \), то \( \log_4 (72/8) = \log_4 9 \). \( 4^{1/2} = 2 \), \( 4^1 = 4 \), \( 4^{1.5} = 8 \), \( 4^2=16 \). \( \log_4 9 \) это \( \log_4 (3^2) = 2 \log_4 3 \).
6. Если предположить, что в задании \( \log_4 72 - \log_4 2 \) и нужно дать точный ответ, то: \( \log_4 36 \). Так как \( 4 = 2^2 \) и \( 36 = 6^2 \), то \( \log_{2^2} 6^2 \). Используя свойство \( \log_{b^m} a^n = \frac{n}{m} \log_b a \), получаем \( \frac{2}{2} \log_2 6 = \log_2 6 \).
7. \( \log_2 6 = \log_2 (2 × 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 \).

Ответ: а) \( -1, 1, 3 \); б) \( 7 \); в) \( \log_2 6 \) (или \( 1 + \log_2 3 \) )