1. Решить систему уравнений: a) { x+y=7, x-y=5; б) { m+n=10, m-n=4; в) { 2a+b=14, 2a-b=10; г) { x+2y=7, 2x-y=9; д) { 3x-y=10, 2x+5y=1; е) { 4x-3y=18, 5x+2y=11.

Решение:

а)

Сложим два уравнения системы:

\( (x+y) + (x-y) = 7+5 \)

\( 2x = 12 \)

\( x = 6 \)

Подставим \( x=6 \) в первое уравнение:

\( 6+y=7 \)

\( y=1 \)

б)

Сложим два уравнения системы:

\( (m+n) + (m-n) = 10+4 \)

\( 2m = 14 \)

\( m = 7 \)

Подставим \( m=7 \) в первое уравнение:

\( 7+n=10 \)

\( n=3 \)

в)

Сложим два уравнения системы:

\( (2a+b) + (2a-b) = 14+10 \)

\( 4a = 24 \)

\( a = 6 \)

Подставим \( a=6 \) в первое уравнение:

\( 2(6)+b=14 \)

\( 12+b=14 \)

\( b=2 \)

г)

Умножим второе уравнение на 2:

\( 2(2x-y) = 2(9) \)

\( 4x-2y=18 \)

Вычтем из этого уравнения первое уравнение:

\( (4x-2y) - (x+2y) = 18 - 7 \)

\( 3x - 4y = 11 \)

Умножим первое уравнение на 2:

\( 2(x+2y) = 2(7) \)

\( 2x+4y=14 \)

Сложим это уравнение с вторым уравнением исходной системы:

\( (2x+4y) + (2x-y) = 14+9 \)

\( 4x+3y=23 \)

Теперь решим систему:

\( 3x - 4y = 11 \)

\( 4x + 3y = 23 \)

Умножим первое уравнение на 3, второе на 4:

\( 9x - 12y = 33 \)

\( 16x + 12y = 92 \)

Сложим полученные уравнения:

\( (9x-12y) + (16x+12y) = 33+92 \)

\( 25x = 125 \)

\( x = 5 \)

Подставим \( x=5 \) во второе уравнение исходной системы:

\( 2(5)-y=9 \)

\( 10-y=9 \)

\( y=1 \)

д)

Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = 3x - 10 \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( 2x + 5(3x - 10) = 1 \)

\( 2x + 15x - 50 = 1 \)

\( 17x = 51 \)

\( x = 3 \)

Подставим \( x=3 \) в выражение для \( y \):

\( y = 3(3) - 10 \)

\( y = 9 - 10 \)

\( y = -1 \)

е)

Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:

\( 2(4x-3y) = 2(18) \Rightarrow 8x-6y=36 \)

\( 3(5x+2y) = 3(11) \Rightarrow 15x+6y=33 \)

Сложим полученные уравнения:

\( (8x-6y) + (15x+6y) = 36+33 \)

\( 23x = 69 \)

\( x = 3 \)

Подставим \( x=3 \) в первое уравнение исходной системы:

\( 4(3)-3y=18 \)

\( 12-3y=18 \)

\( -3y = 6 \)

\( y = -2 \)

Ответ: а) x = 6, y = 1; б) m = 7, n = 3; в) a = 6, b = 2; г) x = 5, y = 1; д) x = 3, y = -1; е) x = 3, y = -2.