1. Решить неравенство $$ \frac{4x - x^2}{3 + 2x} < 0 $$

Решение:

Для решения неравенства \( \frac{4x - x^2}{3 + 2x} < 0 \) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( 4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4 \)
2. Корень знаменателя: \( 3 + 2x = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} \)
3. Разместим корни на числовой оси: \( -\frac{3}{2}, 0, 4 \).
4. Определим знаки интервалов:
   • При \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \( \frac{4(5) - 5^2}{3 + 2(5)} = \frac{20 - 25}{13} = \frac{-5}{13} < 0 \).
   • При \( 0 < x < 4 \) (например, \( x=1 \)): \( \frac{4(1) - 1^2}{3 + 2(1)} = \frac{3}{5} > 0 \).
   • При \( -\frac{3}{2} < x < 0 \) (например, \( x=-1 \)): \( \frac{4(-1) - (-1)^2}{3 + 2(-1)} = \frac{-4 - 1}{1} = -5 < 0 \).
   • При \( x < -\frac{3}{2} \) (например, \( x=-2 \)): \( \frac{4(-2) - (-2)^2}{3 + 2(-2)} = \frac{-8 - 4}{3 - 4} = \frac{-12}{-1} = 12 > 0 \).
5. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля.

Ответ: \( x \in \left(-\frac{3}{2}; 0\right) \cup \left(4; +\infty\right) \).