Контрольные задания
Вопрос:

1) Решить дифференциальные уравнения.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

Задание содержит несколько дифференциальных уравнений.

1. \( y'√{x-1} = y^2 \)

Это уравнение с разделяющимися переменными.

  1. Разделим переменные: \( \frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{√{x-1}} \)
  2. Проинтегрируем обе части: \( ∫ \frac{dy}{y^2} = ∫ \frac{dx}{√{x-1}} \)
  3. \( -\frac{1}{y} = 2√{x-1} + C \)
  4. Выразим \( y \): \( y = -\frac{1}{2√{x-1} + C} \)

Ответ: \( y = -\frac{1}{2√{x-1} + C} \).

2. \( \textrm{sin } y \textrm{ cos } x dy = \textrm{cos } y \textrm{ sin } x dx, y(0) = \frac{π}{4} \)

Это уравнение с разделяющимися переменными.

  1. Перепишем уравнение: \( \frac{\textrm{sin } y}{\textrm{cos } y} dy = \frac{\textrm{sin } x}{\textrm{cos } x} dx \)
  2. Проинтегрируем обе части: \( ∫ \textrm{tg } y dy = ∫ \textrm{tg } x dx \)
  3. \( -\textrm{ln}|\textrm{cos } y| = -\textrm{ln}|\textrm{cos } x| + C \)
  4. \( \textrm{ln}|\textrm{cos } y| = \textrm{ln}|\textrm{cos } x| - C \)
  5. \( |\textrm{cos } y| = e^{\textrm{ln}|\textrm{cos } x| - C} = e^{-C} |\textrm{cos } x| \)
  6. \( \textrm{cos } y = A \textrm{ cos } x \) (где \( A = ± e^{-C} \))
  7. Применим начальное условие \( y(0) = \frac{π}{4} \): \( \textrm{cos}(\frac{π}{4}) = A \textrm{ cos}(0) \)
  8. \( \frac{√{2}}{2} = A \times 1 ⇒ A = \frac{√{2}}{2} \)
  9. \( \textrm{cos } y = \frac{√{2}}{2} \textrm{ cos } x \)

Ответ: \( \textrm{cos } y = \frac{√{2}}{2} \textrm{ cos } x \).

3. \( xy' - y + x\textrm{tg}\frac{y}{x} = 0 \)

Это однородное уравнение. Сделаем замену \( y = ux \), тогда \( y' = u'x + u \).

  1. Подставим в уравнение: \( x(u'x + u) - ux + x\textrm{tg } u = 0 \)
  2. \( u'x^2 + ux - ux + x\textrm{tg } u = 0 \)
  3. \( u'x^2 + x\textrm{tg } u = 0 \)
  4. \( x^2 \frac{du}{dx} = -x\textrm{tg } u \)
  5. \( \frac{du}{\textrm{tg } u} = -\frac{dx}{x} \)
  6. Проинтегрируем: \( ∫ \textrm{ctg } u du = -∫ \frac{dx}{x} \)
  7. \( \textrm{ln}|\textrm{sin } u| = -\textrm{ln}|x| + C \)
  8. \( \textrm{ln}|\textrm{sin } u| + \textrm{ln}|x| = C \)
  9. \( \textrm{ln}|x\textrm{sin } u| = C \)
  10. \( x\textrm{sin } u = A \) (где \( A = ± e^C \))
  11. Подставим обратно \( u = \frac{y}{x} \): \( x\textrm{sin}(\frac{y}{x}) = A \)

Ответ: \( x\textrm{sin}(\frac{y}{x}) = A \).

4. \( y' - 4y = e^{2x} \)

Это линейное неоднородное уравнение первого порядка.

  1. Решим однородное уравнение: \( y' - 4y = 0 \) \( ∫ \frac{dy}{y} = ∫ 4 dx \) \( \textrm{ln}|y| = 4x + C_1 \) \( y_0 = e^{4x+C_1} = C e^{4x} \)
  2. Найдем частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов. Пусть \( y_{чн} = Ae^{2x} \).
  3. Тогда \( y'_{чн} = 2Ae^{2x} \).
  4. Подставим в уравнение: \( 2Ae^{2x} - 4Ae^{2x} = e^{2x} \)
  5. \( -2Ae^{2x} = e^{2x} ⇒ -2A = 1 ⇒ A = -\frac{1}{2} \)
  6. \( y_{чн} = -\frac{1}{2}e^{2x} \)
  7. Общее решение: \( y = y_0 + y_{чн} = Ce^{4x} - \frac{1}{2}e^{2x} \)

Ответ: \( y = Ce^{4x} - \frac{1}{2}e^{2x} \).

5. \( x^4y' + x^3y = 4, y(1) = 8 \)

Это линейное уравнение первого порядка. Разделим на \( x^4 \): \( y' + \frac{1}{x}y = \frac{4}{x^4} \).

  1. Найдем интегрирующий множитель: \( μ(x) = e^{∫ \frac{1}{x} dx} = e^{\textrm{ln}|x|} = |x| \). Для \( x>0 \) \( μ(x) = x \).
  2. Умножим уравнение на \( x \): \( xy' + y = \frac{4}{x^3} \)
  3. Левая часть — производная от произведения \( (xy)' \).
  4. \( (xy)' = \frac{4}{x^3} \)
  5. Проинтегрируем: \( xy = ∫ \frac{4}{x^3} dx \)
  6. \( xy = 4 ∫ x^{-3} dx = 4 \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{2}{x^2} + C \)
  7. \( y = -\frac{2}{x^3} + \frac{C}{x} \)
  8. Применим начальное условие \( y(1) = 8 \): \( 8 = -\frac{2}{1^3} + \frac{C}{1} ⇒ 8 = -2 + C ⇒ C = 10 \)
  9. \( y = -\frac{2}{x^3} + \frac{10}{x} \)

Ответ: \( y = -\frac{2}{x^3} + \frac{10}{x} \).

6. \( y'' = e^{2x} + 3 \)

Интегрируем дважды.

  1. \( y' = ∫ (e^{2x} + 3) dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 3x + C_1 \)
  2. \( y = ∫ (\frac{1}{2}e^{2x} + 3x + C_1) dx = \frac{1}{4}e^{2x} + \frac{3}{2}x^2 + C_1x + C_2 \)

Ответ: \( y = \frac{1}{4}e^{2x} + \frac{3}{2}x^2 + C_1x + C_2 \).

7. \( y''(x^2 + 1) = 2xy' \)

Это уравнение второго порядка. Перепишем как \( y'' = \frac{2xy'}{x^2+1} \).

Сделаем замену \( z = y' \), тогда \( z' = y'' \).

  1. \( z' = \frac{2xz}{x^2+1} \)
  2. Разделим переменные: \( \frac{dz}{z} = \frac{2x}{x^2+1} dx \)
  3. Проинтегрируем: \( ∫ \frac{dz}{z} = ∫ \frac{2x}{x^2+1} dx \)
  4. \( \textrm{ln}|z| = \textrm{ln}|x^2+1| + C_1 \)
  5. \( |z| = e^{\textrm{ln}|x^2+1| + C_1} = e^{C_1}|x^2+1| \)
  6. \( z = A(x^2+1) \) (где \( A = ± e^{C_1} \))
  7. Подставим обратно \( z = y' \): \( y' = A(x^2+1) \)
  8. Проинтегрируем: \( y = ∫ A(x^2+1) dx = A(\frac{x^3}{3} + x) + C_2 \)

Ответ: \( y = A(\frac{x^3}{3} + x) + C_2 \).

8. \( 25y'' - 30y' + 9y = 0, y(1) = -4, y'(1) = 2 \)

Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

  1. Составим характеристическое уравнение: \( 25r^2 - 30r + 9 = 0 \)
  2. Найдем дискриминант: \( D = (-30)^2 - 4 \times 25 \times 9 = 900 - 900 = 0 \)
  3. Уравнение имеет один корень: \( r = \frac{30}{2 \times 25} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \)
  4. Общее решение имеет вид: \( y = (C_1 + C_2x)e^{\frac{3}{5}x} \)
  5. Найдем производную: \( y' = C_2e^{\frac{3}{5}x} + (C_1 + C_2x)e^{\frac{3}{5}x} \frac{3}{5} = e^{\frac{3}{5}x}(C_2 + \frac{3}{5}C_1 + \frac{3}{5}C_2x) \)
  6. Применим начальные условия:
  7. \( y(1) = (C_1 + C_2)e^{\frac{3}{5}} = -4 \)
  8. \( y'(1) = e^{\frac{3}{5}}(C_2 + \frac{3}{5}C_1 + \frac{3}{5}C_2) = 2 \)
  9. Из первого уравнения: \( C_1 + C_2 = -4e^{-\frac{3}{5}} \)
  10. Подставим во второе: \( e^{\frac{3}{5}}(C_2 + \frac{3}{5}C_1 + \frac{3}{5}C_2) = 2 \)
  11. \( C_2 + \frac{3}{5}C_1 + \frac{3}{5}C_2 = 2e^{-\frac{3}{5}} \)
  12. \( \frac{3}{5}C_1 + \frac{8}{5}C_2 = 2e^{-\frac{3}{5}} \)
  13. Умножим на 5: \( 3C_1 + 8C_2 = 10e^{-\frac{3}{5}} \)
  14. Умножим \( C_1 + C_2 = -4e^{-\frac{3}{5}} \) на 3: \( 3C_1 + 3C_2 = -12e^{-\frac{3}{5}} \)
  15. Вычтем последнее из \( 3C_1 + 8C_2 = 10e^{-\frac{3}{5}} \): \( 5C_2 = 22e^{-\frac{3}{5}} ⇒ C_2 = \frac{22}{5}e^{-\frac{3}{5}} \)
  16. \( C_1 = -4e^{-\frac{3}{5}} - C_2 = -4e^{-\frac{3}{5}} - \frac{22}{5}e^{-\frac{3}{5}} = (-\frac{20}{5} - \frac{22}{5})e^{-\frac{3}{5}} = -\frac{42}{5}e^{-\frac{3}{5}} \)
  17. Подставим \( C_1 \) и \( C_2 \) в общее решение: \( y = (-\frac{42}{5}e^{-\frac{3}{5}} + \frac{22}{5}e^{-\frac{3}{5}}x)e^{\frac{3}{5}x} \)
  18. \( y = e^{\frac{3}{5}x}(-\frac{42}{5} + \frac{22}{5}x) \)

Ответ: \( y = e^{\frac{3}{5}x}(-\frac{42}{5} + \frac{22}{5}x) \).

9. \( 9y'' + y = (4x - 2)e^{x/2} \)

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

  1. Решим однородное уравнение: \( 9y'' + y = 0 \)
  2. Характеристическое уравнение: \( 9r^2 + 1 = 0 ⇒ r^2 = -\frac{1}{9} ⇒ r = ±\frac{1}{3}i \)
  3. Общее решение однородного уравнения: \( y_0 = C_1 \textrm{cos}(\frac{x}{3}) + C_2 \textrm{sin}(\frac{x}{3}) \)
  4. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде \( y_{чн} = (Ax+B)e^{x/2} \).
  5. \( y'_{чн} = A e^{x/2} + (Ax+B)\frac{1}{2}e^{x/2} = e^{x/2}(A + \frac{1}{2}Ax + \frac{1}{2}B) \)
  6. \( y''_{чн} = \frac{1}{2}e^{x/2}(A + \frac{1}{2}Ax + \frac{1}{2}B) + e^{x/2}(\frac{1}{2}A) = e^{x/2}(\frac{1}{2}A + \frac{1}{4}Ax + \frac{1}{4}B + \frac{1}{2}A) = e^{x/2}(\frac{3}{4}A + \frac{1}{4}Ax + \frac{1}{4}B) \)
  7. Подставим в уравнение: \( 9e^{x/2}(\frac{3}{4}A + \frac{1}{4}Ax + \frac{1}{4}B) + (Ax+B)e^{x/2} = (4x-2)e^{x/2} \)
  8. Разделим на \( e^{x/2} \): \( \frac{27}{4}A + \frac{9}{4}Ax + \frac{9}{4}B + Ax + B = 4x - 2 \)
  9. \( (\frac{9}{4}A + A)x + (\frac{27}{4}A + \frac{9}{4}B + B) = 4x - 2 \)
  10. \( \frac{13}{4}Ax + (\frac{27}{4}A + \frac{13}{4}B) = 4x - 2 \)
  11. Приравниваем коэффициенты при \( x \): \( \frac{13}{4}A = 4 ⇒ A = \frac{16}{13} \)
  12. Приравниваем свободные члены: \( \frac{27}{4}A + \frac{13}{4}B = -2 \)
  13. \( \frac{27}{4}(\frac{16}{13}) + \frac{13}{4}B = -2 \)
  14. \( \frac{27 \times 4}{13} + \frac{13}{4}B = -2 \)
  15. \( \frac{108}{13} + \frac{13}{4}B = -2 \)
  16. \( \frac{13}{4}B = -2 - \frac{108}{13} = -\frac{26+108}{13} = -\frac{134}{13} \)
  17. \( B = -\frac{134}{13} \times \frac{4}{13} = -\frac{536}{169} \)
  18. Общее решение: \( y = C_1 \textrm{cos}(\frac{x}{3}) + C_2 \textrm{sin}(\frac{x}{3}) + (\frac{16}{13}x - \frac{536}{169})e^{x/2} \)

Ответ: \( y = C_1 \textrm{cos}(\frac{x}{3}) + C_2 \textrm{sin}(\frac{x}{3}) + (\frac{16}{13}x - \frac{536}{169})e^{x/2} \).

10. \( 2y'' + 9y' - 5y = \textrm{sin } 5x \)

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

  1. Решим однородное уравнение: \( 2y'' + 9y' - 5y = 0 \)
  2. Характеристическое уравнение: \( 2r^2 + 9r - 5 = 0 \)
  3. \( r = \frac{-9 ± √{81 - 4(2)(-5)}}{4} = \frac{-9 ± √{81+40}}{4} = \frac{-9 ± √{121}}{4} = \frac{-9 ± 11}{4} \)
  4. \( r_1 = \frac{-9+11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), \( r_2 = \frac{-9-11}{4} = \frac{-20}{4} = -5 \)
  5. Общее решение однородного уравнения: \( y_0 = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{-5x} \)
  6. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде \( y_{чн} = A\textrm{sin } 5x + B\textrm{cos } 5x \).
  7. \( y'_{чн} = 5A\textrm{cos } 5x - 5B\textrm{sin } 5x \)
  8. \( y''_{чн} = -25A\textrm{sin } 5x - 25B\textrm{cos } 5x \)
  9. Подставим в уравнение: \( 2(-25A\textrm{sin } 5x - 25B\textrm{cos } 5x) + 9(5A\textrm{cos } 5x - 5B\textrm{sin } 5x) - 5(A\textrm{sin } 5x + B\textrm{cos } 5x) = \textrm{sin } 5x \)
  10. \( -50A\textrm{sin } 5x - 50B\textrm{cos } 5x + 45A\textrm{cos } 5x - 45B\textrm{sin } 5x - 5A\textrm{sin } 5x - 5B\textrm{cos } 5x = \textrm{sin } 5x \)
  11. Группируем члены при \( \textrm{sin } 5x \) и \( \textrm{cos } 5x \):
  12. \( \textrm{sin } 5x (-50A - 45B - 5A) + \textrm{cos } 5x (-50B + 45A - 5B) = \textrm{sin } 5x \)
  13. \( \textrm{sin } 5x (-55A - 45B) + \textrm{cos } 5x (45A - 55B) = \textrm{sin } 5x \)
  14. Приравниваем коэффициенты:
  15. При \( \textrm{sin } 5x \): \( -55A - 45B = 1 \)
  16. При \( \textrm{cos } 5x \): \( 45A - 55B = 0 ⇒ 45A = 55B ⇒ A = \frac{55}{45}B = \frac{11}{9}B \)
  17. Подставим \( A \) в первое уравнение: \( -55(\frac{11}{9}B) - 45B = 1 \)
  18. \( -\frac{605}{9}B - \frac{405}{9}B = 1 \)
  19. \( -\frac{1010}{9}B = 1 ⇒ B = -\frac{9}{1010} \)
  20. \( A = \frac{11}{9}B = \frac{11}{9}(-\frac{9}{1010}) = -\frac{11}{1010} \)
  21. Частное решение: \( y_{чн} = -\frac{11}{1010}\textrm{sin } 5x - \frac{9}{1010}\textrm{cos } 5x \)
  22. Общее решение: \( y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{-5x} - \frac{11}{1010}\textrm{sin } 5x - \frac{9}{1010}\textrm{cos } 5x \)

Ответ: \( y = C_1e^{\frac{1}{2}x} + C_2e^{-5x} - \frac{11}{1010}\textrm{sin } 5x - \frac{9}{1010}\textrm{cos } 5x \).

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ
Подать жалобу Правообладателю