1. Радиус окружности, вписан-ной в прямоугольный тре-угольник, равен 5 см, а один из катетов — 12 см. Найдите периметр треугольника.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии. Это довольно просто, если понять логику.

Дано:

• Прямоугольный треугольник
• Радиус вписанной окружности r = 5 см
• Один катет a = 12 см

Найти: Периметр треугольника P.

Решение:

1. Связь радиуса вписанной окружности с катетами и гипотенузой:
• В прямоугольном треугольнике есть формула, которая связывает радиус вписанной окружности с его сторонами: r = (a + b - c) / 2, где a и b — катеты, а c — гипотенуза.
• Мы знаем r и один катет (пусть это будет a = 12 см). Нам нужно найти второй катет (b) и гипотенузу (c).
• Из формулы радиуса выразим a + b - c: a + b - c = 2r.
• Подставим известные значения: 12 + b - c = 2 * 5, то есть 12 + b - c = 10.
• Отсюда выразим b - c: b - c = 10 - 12, что дает b - c = -2.
• Это значит, что c = b + 2. Гипотенуза на 2 см больше второго катета.
2. Используем теорему Пифагора:
• По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: a^2 + b^2 = c^2.
• Подставим известные значения и полученное выражение для c: 12^2 + b^2 = (b + 2)^2.
• Раскроем скобки: 144 + b^2 = b^2 + 4b + 4.
• Сократим b^2 с обеих сторон: 144 = 4b + 4.
• Теперь найдем b: 4b = 144 - 4, что дает 4b = 140.
• b = 140 / 4 = 35 см.
3. Находим гипотенузу:
• Теперь, когда мы знаем b, найдем c: c = b + 2 = 35 + 2 = 37 см.
• Давай проверим: 12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369. А 37^2 = 1369. Все сходится!
4. Вычисляем периметр:
• Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: P = a + b + c.
• P = 12 + 35 + 37 = 84 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 84 см.