1. Производная, таблица производных, правила дифференцирования. 2. Найдите значение выражения: 2^3.5 * 3^5.5 / 64.5

Решение:

1. Теоретическая часть

Производная — это показатель того, как функция изменяется в данной точке. Она показывает скорость изменения функции.

Таблица производных — это набор основных формул для нахождения производных от элементарных функций.

Основные правила дифференцирования:

• Производная суммы/разности: \( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \)


• Производная произведения: \( (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x) \)


• Производная частного: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)}{(g(x))^2} \)


• Производная сложной функции: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) \)

2. Вычисление значения выражения

Заданное выражение:

\[ \frac{2^{3.5} · 3^{5.5}}{64.5} \]

Шаг 1: Приведем основания степеней к общему виду.

Заметим, что \( 64 = 2^6 \).

Таким образом, выражение можно переписать как:

\[ \frac{2^{3.5} · 3^{5.5}}{2^6 · 5} \]

Шаг 2: Сгруппируем степени с одинаковым основанием.

\[ 2^{3.5 - 6} · \frac{3^{5.5}}{5} \]

\[ 2^{-2.5} · \frac{3^{5.5}}{5} \]

Шаг 3: Переведем отрицательную степень в дробь.

\[ \frac{1}{2^{2.5}} · \frac{3^{5.5}}{5} \]

\[ \frac{3^{5.5}}{5 · 2^{2.5}} \]

Шаг 4: Преобразуем степени в более удобный вид (если возможно).

\( 2^{2.5} = 2^{2} · 2^{0.5} = 4 \sqrt{2} \)

\( 3^{5.5} = 3^{5} · 3^{0.5} = 243 \sqrt{3} \)

Подставляем обратно:

\[ \frac{243 · \sqrt{3}}{5 · 4 · \sqrt{2}} = \frac{243 · \sqrt{3}}{20 · \sqrt{2}} \]

\[ \frac{243 · \sqrt{3} · \sqrt{2}}{20 · 2} = \frac{243 · \sqrt{6}}{40} \]

\[ \approx \frac{243 · 2.449}{40} \approx \frac{595.107}{40} \approx 14.878 \]

Примечание: Выражение \( 64.5 \) в знаменателе, вероятно, опечатка, и должно быть \( 64 \) или \( 65 \). Если принять \( 64 \), то решение будет:

\[ \frac{2^{3.5} · 3^{5.5}}{64} = \frac{2^{3.5} · 3^{5.5}}{2^6} = 2^{3.5-6} · 3^{5.5} = 2^{-2.5} · 3^{5.5} \]

\[ = \frac{3^{5.5}}{2^{2.5}} = \frac{3^5 · \sqrt{3}}{2^2 · \sqrt{2}} = \frac{243 · \sqrt{3}}{4 · \sqrt{2}} = \frac{243 · \sqrt{6}}{8} · \frac{1}{5} \]

\[ \approx \frac{243 · 2.449}{8} \approx \frac{595.107}{8} \approx 74.388 \]

Учитывая, что в знаменателе указано 64.5, точное аналитическое решение без приближенных вычислений затруднительно.

Примем 64.5 как есть.

\[ \frac{2^{3.5} · 3^{5.5}}{64.5} = \frac{2^{7/2} · 3^{11/2}}{64.5} \]

Приблизительное значение:

\[ 2^{3.5} · 3^{5.5} · \frac{1}{64.5} · \sqrt{129} \]

$$2^{3.5} \approx 11.3137$$

$$3^{5.5} \approx 455.961$$

$$2^{3.5} \cdot 3^{5.5} \approx 11.3137 \cdot 455.961 \approx 5158.48$$

\[ \frac{5158.48}{64.5} \approx 79.976 \]

Ответ: Приблизительное значение выражения равно 79.976.