1. Преобразуйте выражение: 1) a) x³⋅x²; б) x⁻¹¹⋅x⁵; 2) a) a²:a⁵; б) a⁻⁸:a; 3) a) (y³)²; б) (y⁴)⁻⁴. в) x⁸⋅x⁻³; г) x⁻¹⁴⋅x; в) a¹²:a⁻⁴; г) a⁻²:a³; в) (y⁻⁶)⁶; д) (y⁻⁷)⁰. д) x⁴⋅x⋅x⁻⁶; д) a⁻³:a⁻⁶;

Решение:

Привет! Давай разберёмся со свойствами степеней. Главное правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются.

1. Умножение степеней:

1. a) \[ x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5 \]
2. б) \[ x^{-11} \cdot x^5 = x^{-11+5} = x^{-6} \]
3. в) \[ x^8 \cdot x^{-3} = x^{8+(-3)} = x^{8-3} = x^5 \]
4. г) \[ x^{-14} \cdot x = x^{-14+1} = x^{-13} \]
5. д) \[ x^4 \cdot x \cdot x^{-6} = x^{4+1+(-6)} = x^{5-6} = x^{-1} \]

2. Деление степеней:

1. a) \[ a^2 : a^5 = a^{2-5} = a^{-3} \]
2. б) \[ a^{-8} : a = a^{-8-1} = a^{-9} \]
3. в) \[ a^{12} : a^{-4} = a^{12-(-4)} = a^{12+4} = a^{16} \]
4. г) \[ a^{-2} : a^3 = a^{-2-3} = a^{-5} \]
5. д) \[ a^{-3} : a^{-6} = a^{-3-(-6)} = a^{-3+6} = a^3 \]

3. Возведение степени в степень:

Когда мы возводим степень в степень, показатели перемножаются.

1. a) \[ (y^3)^2 = y^{3 \times 2} = y^6 \]
2. б) \[ (y^4)^{-4} = y^{4 \times (-4)} = y^{-16} \]
3. в) \[ (y^{-6})^6 = y^{-6 \times 6} = y^{-36} \]
4. г) \[ (y^{-3})^{-5} = y^{-3 \times (-5)} = y^{15} \]
5. д) \[ (y^{-7})^0 = y^{-7 \times 0} = y^0 = 1 \]

Важно помнить: Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.

Ответ: 1) а) x⁵, б) x⁻⁶, в) x⁵, г) x⁻¹³, д) x⁻¹; 2) а) a⁻³, б) a⁻⁹, в) a¹⁶, г) a⁻⁵, д) a³; 3) а) y⁶, б) y⁻¹⁶, в) y⁻³⁶, г) y¹⁵, д) 1.