1. Преобразования графиков функций. 2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и √18 см и образуют угол 45°, меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол 45° с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда. 3. Построить график функции: y = (x+3);

Решение:

1. Преобразования графиков функций.

Это теоретический вопрос, который требует описания того, как различные изменения в уравнении функции влияют на её график. Например:

• Сдвиг графика вдоль оси Y: \( y = f(x) + c \)


• Сдвиг графика вдоль оси X: \( y = f(x - c) \)


• Растяжение/сжатие вдоль оси Y: \( y = c \cdot f(x) \)


• Растяжение/сжатие вдоль оси X: \( y = f(cx) \)


• Отражение относительно оси X: \( y = -f(x) \)


• Отражение относительно оси Y: \( y = f(-x) \)

2. Нахождение объёма параллелепипеда.

Дано:
Стороны основания: \( a = 7 \text{ см} \), \( b = \sqrt{18} \text{ см} \)
Угол между сторонами основания: \( \alpha = 45^{\circ} \)
Угол между меньшей диагональю основания и плоскостью основания: \( \beta = 45^{\circ} \)

Найти: Объем параллелепипеда \( V \)

Решение:

1. Площадь основания: \( S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \)
   \( S_{осн} = 7 \cdot \sqrt{18} \cdot \sin(45^{\circ}) = 7 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \cdot 3 \cdot \frac{2}{2} = 21 \text{ см}^2 \)


2. Меньшая диагональ основания: По теореме косинусов:
   \( d_{1}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) \)
   \( d_{1}^2 = 7^2 + (\sqrt{18})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{18} \cdot \cos(45^{\circ}) \)
   \( d_{1}^2 = 49 + 18 - 14 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   \( d_{1}^2 = 67 - 42 \cdot \frac{2}{2} = 67 - 42 = 25 \)
   \( d_{1} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \)


3. Высота параллелепипеда: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю основания, высотой параллелепипеда и диагональю параллелепипеда, проходящей через ту же вершину. Угол между меньшей диагональю основания и плоскостью основания равен \( 45^{\circ} \).
   \( \tan(\beta) = \frac{h}{d_{1}} \)
   \( \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{5} \)
   \( 1 = \frac{h}{5} \)
   \( h = 5 \text{ см} \)


4. Объем параллелепипеда: \( V = S_{осн} \cdot h \)
   \( V = 21 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 105 \text{ см}^3 \)

Ответ: 105 см³.

3. Построить график функции: \( y = (x+3)^2 \)

Это график параболы, которая является результатом сдвига графика функции \( y = x^2 \) на 3 единицы влево по оси X.

Ответ: График функции \( y = (x+3)^2 \) — парабола с вершиной в точке \( (-3, 0) \).