1. Правила вычисления производных 2. Вычислите производную функции: f(x)=\(\frac{4x+1}{2+5x}\) 3. Прямоугольник со сторонами 2 см. и 8 см. вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объем полученного тела вращения.

Решение:

1. 1. Правила вычисления производных
   Для нахождения производной функции используются следующие основные правила:
   
   • Производная суммы/разности: \( (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) \).
   • Производная произведения: \( (f(x) · g(x))' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x) \).
   • Производная частного: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)}{(g(x))^2} \).
   • Производная константы: \( C' = 0 \).
   • Производная степенной функции: \( (x^n)' = nx^{n-1} \).
2. 2. Вычисление производной функции
   Дана функция \( f(x) = \frac{4x+1}{2+5x} \). Применим правило производной частного, где \( u = 4x+1 \) и \( v = 2+5x \).
   Найдём производные числителя и знаменателя:
   \( u' = (4x+1)' = 4 \)
   \( v' = (2+5x)' = 5 \>
   Теперь подставим в формулу производной частного:
   \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{4(2+5x) - (4x+1)5}{(2+5x)^2} \]
   \[ f'(x) = \frac{8 + 20x - (20x + 5)}{(2+5x)^2} \]
   \[ f'(x) = \frac{8 + 20x - 20x - 5}{(2+5x)^2} \]
   \[ f'(x) = \frac{3}{(2+5x)^2} \]
3. 3. Вычисление объема тела вращения
   Прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см вращается вокруг меньшей стороны (2 см). При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Радиус этого цилиндра будет равен большей стороне прямоугольника (8 см), а высота — меньшей стороне (2 см).
   Формула объема цилиндра: \( V = π r^2 h \), где \( r \) — радиус, \( h \) — высота.
   В нашем случае \( r = 8 \) см и \( h = 2 \) см.
   \[ V = π · (8  гм)^2 · 2  гм \]
   \[ V = π · 64  гм^2 · 2  гм \]
   \[ V = 128 π  гм^3 \]

Ответ: 1. Основные правила вычисления производных приведены выше. 2. \( f'(x) = \frac{3}{(2+5x)^2} \). 3. \( V = 128 π \) см³.