1. Правила дифференцирования 2. Упростите выражение $$\left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right):(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$$ 3. Объем шара и площади сферы Билет №29. 1. Производные некоторых элементарных функций 2. Упростите выражение $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$ 3. Векторы в пространстве Билет №30. 1. Геометрический смысл производной 2. Упростите выражение $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$ 3. Метод координат в пространстве

Решение:

Задание 1:

1. Правила дифференцирования:
   • $$(u ± v)' = u' ± v'$$
   • $$(uv)' = u'v + uv'$$
   • $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$
   • $$(u^n)' = n · u^{n-1} · u'$$
   • $$(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$
2. Упрощение выражения: \(\left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right):(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\)
• Сначала упростим дробь: \(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
• Теперь подставим в исходное выражение: \((\sqrt{a}+\sqrt{b} - \sqrt{ab}):(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\)
• Это выражение не упрощается до числа, поэтому оставляем в таком виде.
3. Формулы для объема шара и площади сферы:
   • Объем шара: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\)
   • Площадь сферы: \(S = 4\pi R^2\)

Задание 2 (Билет №29):

1. Производные некоторых элементарных функций:
   • $$x^n$$' = $$nx^{n-1}$$
   • $$(\sin x)'$$ = $$\cos x$$
   • $$(\cos x)'$$ = $$-\sin x$$
   • $$(\tan x)'$$ = $$\frac{1}{\cos^2 x}$$
   • $$e^x$$' = $$e^x$$
   • $$(\ln x)'$$ = $$\frac{1}{x}$$
2. Упрощение выражения: \(\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\).
• Используем формулы разности кубов: \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)\) и сумму кубов: \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\).
• \(\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a})^3-(\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = (\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{ab} + (\sqrt[3]{b})^2\)
• \(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\) - это выражение не упрощается напрямую таким же образом.
• Примем \(x = \sqrt[3]{a}\), \(y = \sqrt[3]{b}\). Тогда \(a = x^3\), \(b = y^3\).
• \(\frac{x^3-y^3}{x-y} - \frac{x^3+y^3}{x+y} = (x^2+xy+y^2) - (x^2-xy+y^2) = 2xy\)
• Подставляем обратно: \(2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} = 2\sqrt[3]{ab}\)
3. Векторы в пространстве:
   • Определение: Вектор — это направленный отрезок.
   • Сложение векторов: правило треугольника, правило параллелограмма.
   • Умножение вектора на число.

Задание 3 (Билет №30):

1. Геометрический смысл производной:
   • Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
2. Упрощение выражения: \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\).
• Обозначим \(x = \sqrt[6]{a}\), \(y = \sqrt[6]{b}\). Тогда \(\sqrt{a} = x^3\), \(\sqrt{b} = y^3\), \(\sqrt[3]{a} = x^2\), \(\sqrt[3]{b} = y^2\).
• \(\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} - \frac{x^3+\sqrt[6]{a^2b^2}}{\sqrt[6]{a^2}+\sqrt[6]{b^2}} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} - \frac{x^3+\sqrt[3]{ab}}{x^2+y^2}\)
• \(\frac{x^2+xy+y^2}{x+y} - \frac{x^3+\sqrt[3]{ab}}{x^2+y^2}\)
• Дальнейшее упрощение этого выражения без дополнительных условий или уточнений затруднительно.
3. Метод координат в пространстве:
   • Любой точке пространства ставится в соответствие набор из трех чисел (координат), определяющих её положение относительно осей координат.
   • Расстояние между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)

Ответ: Решения представлены в виде развернутых пояснений и формул.