1. По прямолинейной автостраде движутся равномерно: автобус — вправо со скоростью 20 м/с, легковой автомобиль — влево со скоростью 15 м/с и мотоциклист — влево со скоростью 10 м/с. Координаты этих экипажей в момент начала наблюдения равны соответственно 500, 200 и –300 м. Сделать пояснительный рисунок (ось Х направить вправо, начало отсчёта — дерево). Написать их уравнения движения. Найти: а) координату автобуса через 5 с; б) координату легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с; в) через какое время координата мотоциклиста будет равна —600 м; г) в какой момент времени автобус проезжал мимо дерева; д) где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения.

Решение:

Для решения задачи составим уравнения движения для каждого объекта. Ось X направим вправо, начало отсчёта — дерево.

Дано:

• Скорость автобуса \( v_{а} = 20 \) м/с (вправо)
• Скорость легкового автомобиля \( v_{л} = 15 \) м/с (влево)
• Скорость мотоциклиста \( v_{м} = 10 \) м/с (влево)
• Начальная координата автобуса \( x_{а0} = 500 \) м
• Начальная координата легкового автомобиля \( x_{л0} = 200 \) м
• Начальная координата мотоциклиста \( x_{м0} = -300 \) м
• Начало отсчёта — дерево.
• Ось X направлена вправо.

Уравнения движения:

Общий вид уравнения движения при равномерном прямолинейном движении: \( x(t) = x_0 + vt \), где \( x_0 \) — начальная координата, \( v \) — скорость (положительная при движении вправо, отрицательная — при движении влево).

1. Автобус: \( x_{а}(t) = x_{а0} + v_{а}t = 500 + 20t \)
2. Легковой автомобиль: \( x_{л}(t) = x_{л0} - v_{л}t = 200 - 15t \) (скорость отрицательная, так как движется влево)
3. Мотоциклист: \( x_{м}(t) = x_{м0} - v_{м}t = -300 - 10t \) (скорость отрицательная, так как движется влево)

Рисунок:

На оси X отметить точку 0 (дерево). От нее вправо отложить точку 500 м (начальное положение автобуса). Вправо от 0 отложить точку 200 м (начальное положение легкового автомобиля). Влево от 0 отложить точку -300 м (начальное положение мотоциклиста). Стрелками показать направление движения:

• Автобус: стрелка вправо от 500 м.
• Легковой автомобиль: стрелка влево от 200 м.
• Мотоциклист: стрелка влево от -300 м.

Найти:

а) Координату автобуса через \( t = 5 \) с.

б) Координату легкового автомобиля и пройденный путь через \( t = 10 \) с.

в) Время, когда координата мотоциклиста будет \( x_{м} = -600 \) м.

г) Время, когда автобус проезжал мимо дерева ( \( x_{а} = 0 \) ).

д) Положение легкового автомобиля за \( 20 \) с до начала наблюдения ( \( t = -20 \) с).

Решение пунктов:

а) Координата автобуса через 5 с:

\( x_{а}(5) = 500 + 20 \cdot 5 = 500 + 100 = 600 \) м

б) Координата легкового автомобиля и пройденный путь через 10 с:

Координата:

\( x_{л}(10) = 200 - 15 \cdot 10 = 200 - 150 = 50 \) м

Пройденный путь — это модуль перемещения, так как движение прямолинейное и в одном направлении:

\( S_{л} = |x_{л}(10) - x_{л}(0)| = |50 - 200| = |-150| = 150 \) м

в) Время, когда координата мотоциклиста будет –600 м:

\( x_{м}(t) = -300 - 10t = -600 \)

\( -10t = -600 + 300 \)

\( -10t = -300 \)

\( t = 30 \) с

г) Время, когда автобус проезжал мимо дерева ( \( x_{а} = 0 \) ):

\( x_{а}(t) = 500 + 20t = 0 \)

\( 20t = -500 \)

\( t = -25 \) с. Это означает, что за 25 секунд ДО начала наблюдения автобус проезжал мимо дерева.

д) Где был легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения ( \( t = -20 \) с):

\( x_{л}(-20) = 200 - 15 \cdot (-20) = 200 + 300 = 500 \) м

Ответ:

а) Координата автобуса через 5 с равна 600 м.

б) Координата легкового автомобиля через 10 с равна 50 м, пройденный путь — 150 м.

в) Координата мотоциклиста будет –600 м через 30 с.

г) Автобус проезжал мимо дерева в момент времени t = -25 с (за 25 с до начала наблюдения).

д) Легковой автомобиль за 20 с до начала наблюдения находился на координате 500 м.