1. Площадь треугольника MTF равна 84, XZ средняя линия, параллельная стороне MT. Найдите площадь треугольника FXZ.

Задание 1. Площадь треугольника

Дано:

• Площадь треугольника \( MTF \): \( S_{MTF} = 84 \).
• \( XZ \) — средняя линия, параллельная стороне \( MT \).

Найти: площадь треугольника \( FXZ \).

Решение:

1. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне.
2. Если \( XZ \) — средняя линия, параллельная \( MT \), то \( X \) — середина \( MF \), а \( Z \) — середина \( FT \).
3. Треугольник \( FXZ \) подобен треугольнику \( FMT \) по двум углам (угол \( F \) общий, углы \( FXZ \) и \( FMT \) равны как соответственные при параллельных \( XZ \) и \( MT \) и секущей \( FM \)).
4. Коэффициент подобия \( k \) равен отношению соответствующих сторон: \( k = \frac{FX}{FM} = \frac{FZ}{FT} = \frac{XZ}{MT} \).
5. Так как \( X \) и \( Z \) — середины сторон, то \( FX = \frac{1}{2} FM \) и \( FZ = \frac{1}{2} FT \). Следовательно, коэффициент подобия \( k = \frac{1}{2} \).
6. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{FXZ}}{S_{FMT}} = k^2 \).
7. Подставим значение \( k \): \( \frac{S_{FXZ}}{S_{FMT}} = \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^2 = \frac{1}{4} \).
8. Таким образом, площадь треугольника \( FXZ \) равна одной четвертой площади треугольника \( FMT \): \( S_{FXZ} = \frac{1}{4} S_{FMT} \).
9. Подставим данное значение площади \( S_{MTF} = 84 \): \( S_{FXZ} = \frac{1}{4} \times 84 = 21 \).

Ответ: площадь треугольника FXZ равна 21.