1. Периметр прямоугольника равен 14, а диагональ равна 6. Найдите площадь этого прямоугольника.

Для решения обозначим стороны прямоугольника как a и b. Периметр прямоугольника: 2(a + b) = 14, отсюда a + b = 7. По теореме Пифагора a^2 + b^2 = 6^2 = 36. Решим систему уравнений: a + b = 7 и a^2 + b^2 = 36. Выразим b через a: b = 7 - a. Подставим в уравнение a^2 + b^2 = 36: a^2 + (7-a)^2 = 36. Раскроем скобки: a^2 + 49 - 14a + a^2 = 36. Приведем подобные: 2a^2 - 14a + 49 = 36. Упростим: 2a^2 - 14a + 13 = 0. Решим квадратное уравнение: a = (14 ± sqrt(14^2 - 4*2*13)) / (2*2). Получаем корни: a = 3 и a = 4. Тогда стороны прямоугольника 3 и 4. Площадь прямоугольника: S = a * b = 3 * 4 = 12. Ответ: 12.