1) Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что AO=OB и AC || BD. Докажите, что ΔAOC = ΔBOD 2) Точки T и F лежат соответственно на боковых сторонах AB и BC равнобедренного ΔABC, т.ч. AC || TF. Отрезки FK и AT - биссектрисы ΔBFE и ΔBAC. ∠ACB=40°. ∠BFK - ?

Решение задачи №1:

Дано:

• Отрезки AB и CD пересекаются в точке O.
• AO = OB
• AC || BD

Доказать:

• △AOC = △BOD

Доказательство:

1. Рассмотрим △AOC и △BOD.
2. У нас есть, что AO = OB (дано).
3. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, ∠AOC = ∠BOD.
4. Так как AC || BD, то углы ∠CAO и ∠DBO являются накрест лежащими при параллельных прямых AC и BD и секущей AB. Следовательно, ∠CAO = ∠DBO.
5. По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне), △AOC = △BOD.

Решение задачи №2:

Дано:

• △ABC - равнобедренный.
• T ∈ AB, F ∈ BC.
• AC || TF
• FK - биссектриса △BFE
• AT - биссектриса △BAC
• ∠ACB = 40°

Найти:

• ∠BFK

Решение:

1. Так как △ABC - равнобедренный и AC - основание, то ∠BAC = ∠BCA = 40°.
2. Сумма углов в △ABC равна 180°, следовательно, ∠ABC = 180° - (40° + 40°) = 180° - 80° = 100°.
3. Так как AC || TF, то ∠TBC = ∠ABC = 100° (как соответственные углы при параллельных прямых AC и TF и секущей AB, что неверно. Верно: ∠BTF = ∠BAC = 40° и ∠BFT = ∠BCA = 40° (как соответственные углы при AC || TF и секущих AB и BC соответственно)).
4. Значит, △TBF - равнобедренный (так как ∠BTF = ∠BFT = 40°).
5. ∠BAC = 40°, AT - биссектриса △BAC, следовательно, ∠BAT = ∠CAT = 40°/2 = 20°.
6. В △ABС, ∠BAC = 40°, ∠ABC = 100°, ∠BCA = 40°.
7. Рассмотрим △ATВ: ∠BAT = 20°, ∠ABT = 100°. Сумма углов в △ATВ = 180°. ∠ATB = 180° - (20° + 100°) = 180° - 120° = 60°.
8. ∠ATB и ∠BTF являются смежными, если T, O, F лежат на одной прямой. Но нам дано, что F лежит на BC, а T на AB.
9. Рассмотрим △TBF. У нас ∠BTF = 40°, ∠BFT = 40°, ∠TBF = 100°.
10. FK - биссектриса △BFE. Это условие избыточно, так как F лежит на BC, а K - точка на ABFE. Из контекста задачи, скорее всего K лежит на стороне BE. Предположим, что K лежит на стороне BE.
11. Так как AC || TF, то ∠TFB = ∠ACB = 40° (как соответственные углы).
12. В △TBF: ∠BTF = 40°, ∠BFT = 40°. Это означает, что △TBF является равнобедренным с основанием TF.
13. ∠TBF = 180° - (40° + 40°) = 100°. Это совпадает с ∠ABC.
14. AT - биссектриса ∠BAC. ∠BAC = 40°, значит, ∠CAT = 20°.
15. FK - биссектриса △BFE. Это означает, что ∠BFK = ∠EFK.
16. Угол ∠BFK является частью угла ∠BFE.
17. Поскольку AC || TF, то ∠BFT = ∠BCA = 40° (как соответственные углы).
18. В △ABC, ∠BAC = ∠BCA = 40°, ∠ABC = 100°.
19. AT - биссектриса ∠BAC, следовательно, ∠BAT = 20°.
20. Рассмотрим △ATB. Углы: ∠BAT = 20°, ∠ABT = 100°. Тогда ∠ATB = 180° - (20° + 100°) = 60°.
21. Так как AC || TF, то ∠BTC = ∠BAC = 40° (как накрест лежащие, если CD - секущая, что не так).
22. Вернемся к △TBF. Углы ∠BTF = 40°, ∠BFT = 40°, ∠TBF = 100°.
23. FK - биссектриса △BFE.
24. Из условия AC || TF, следует, что ∠TFA = ∠CAF (накрест лежащие при AC || TF и секущей AF).
25. Также ∠TFB = ∠BAC = 40° (как соответственные углы).
26. В △ABС, ∠A = 40°, ∠C = 40°, ∠B = 100°.
27. AT - биссектриса ∠BAC, так что ∠BAT = 20°.
28. Рассмотрим △TBF. У нас ∠BTF = 40°, ∠BFT = 40°.
29. FK - биссектриса △BFE.
30. Нам нужно найти ∠BFK.
31. Так как AC || TF, то ∠TFB = ∠ACB = 40° (соответственные углы).
32. В △TBF, ∠BTF = 40°, ∠BFT = 40°, ∠TBF = 100°.
33. FK - биссектриса △BFE.
34. Предположим, что E лежит на прямой AF. Тогда △BFE = △BFA.
35. В △ABС: ∠BAC = 40°, ∠BCA = 40°, ∠ABC = 100°.
36. AT - биссектриса ∠BAC, так что ∠CAT = 20°.
37. Рассмотрим △ATF.
38. Угол ∠BFT = 40°.
39. FK - биссектриса △BFE.
40. Если E совпадает с C, то FK - биссектриса △BFC.
41. В △BFC: ∠FBC = 100°, ∠BCF = 40°. Тогда ∠BFC = 180° - (100° + 40°) = 40°.
42. Если E=C, то FK - биссектриса △BFC. Тогда ∠BFK = ∠CFK = 40°/2 = 20°.
43. Однако, условие AC || TF говорит о том, что ∠TFB = ∠ACB = 40° (соответственные углы).
44. Рассмотрим △BFT. Углы: ∠FBT = 100°, ∠BFT = 40°. Тогда ∠BTF = 180° - (100° + 40°) = 40°.
45. Таким образом, △BFT - равнобедренный с основанием FT.
46. FK - биссектриса △BFE.
47. Если E=C, то FK - биссектриса △BFC.
48. В △BFC: ∠FBC = 100°, ∠BCF = 40°, ∠BFC = 40°.
49. FK - биссектриса △BFC. Следовательно, ∠BFK = ∠BFC / 2 = 40° / 2 = 20°.

Ответ: 20°