1) От квадрата отрезали четыре равных треугольника (рис. 11.37). Найдите площадь оставшейся части.

Решение:

Представленное изображение (рис. 11.37) показывает квадрат со стороной \( 3 + 4 = 7 \) см. Внутри квадрата нарисован еще один квадрат, повернутый на 45 градусов. Четыре треугольника по углам являются прямоугольными, с катетами 3 см и 4 см. Центральная закрашенная фигура является квадратом.

1. Найдем площадь всего квадрата: \( S_{квадрата} = a^2 \). Сторона квадрата равна сумме двух отрезков: \( 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 7 \text{ см} \). Площадь всего квадрата: \( S_{квадрата} = (7 \text{ см})^2 = 49 \text{ см}^2 \).
2. Найдем площадь одного из четырех угловых треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times a \times b \). В нашем случае катеты равны 3 см и 4 см. \( S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 6 \text{ см}^2 \).
3. Найдем площадь четырех угловых треугольников: \( 4 \times S_{треугольника} = 4 \times 6 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2 \).
4. Площадь оставшейся части (внутреннего квадрата) равна площади всего квадрата минус площадь четырех угловых треугольников: \( S_{оставшейся части} = S_{квадрата} - 4 \times S_{треугольника} = 49 \text{ см}^2 - 24 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2 \).

Ответ: Площадь оставшейся части равна 25 см².