1. Основанием пирамиды МАBCD является квадрат ABCD, ребро МД перпендикулярно к плоскости основания, AD = DM = 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Задание 1. Площадь поверхности пирамиды

Дано:

• Основание пирамиды: квадрат ABCD.
• Ребро MD перпендикулярно к плоскости основания.
• Сторона квадрата AD = 6 см.
• Высота пирамиды DM = 6 см.

Найти: Площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Площадь поверхности пирамиды складывается из площади основания и площадей боковых граней.

1. Площадь основания (квадрата ABCD):

   \( S_{осн} = a^2 \)

   \( S_{осн} = 6^2 = 36 \) см².

2. Площадь боковых граней:

   Боковые грани пирамиды — это треугольники: \( \triangle AMD \), \( \triangle CMD \), \( \triangle BMD \), \( \triangle AMD \).

   Так как MD перпендикулярно к плоскости основания, то MD является высотой пирамиды. MD также является высотой треугольников \( \triangle AMD \) и \( \triangle CMD \) (если считать основанием AD и CD соответственно). Но это не совсем верно, так как M - вершина пирамиды, а D - одна из вершин основания.

   Правильнее считать, что MD - высота пирамиды. Тогда боковые грани - это треугольники \( \triangle AMD \), \( \triangle CMD \), \( \triangle AMD \), \( \triangle AMD \).

   Рассмотрим грани:

   • \( \triangle AMD \): Основание AD = 6 см, высота DM = 6 см. Площадь \( S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \) см².
   • \( \triangle CMD \): Основание CD = 6 см, высота DM = 6 см. Площадь \( S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \) см².
   • \( \triangle AMB \) и \( \triangle CMB \): Для этих треугольников нам нужно найти их высоту.

   Найдем диагональ квадрата AC:

   \( AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \) см.

   Середина диагонали AC (точка O) является центром квадрата.

   MO будет высотой треугольников \( \triangle AMC \) и \( \triangle AMD \).

   Найдем расстояние от центра квадрата до середины стороны AD (точка K). AK = KD = 3 см. MK - высота \( \triangle AMD \).

   В прямоугольном треугольнике MDK (где K - середина AD), MD=6, DK=3. По теореме Пифагора:

   \( MK^2 = MD^2 + DK^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45 \)

   \( MK = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) см. (Это высота \( \triangle AMD \) и \( \triangle CMD \)).

   Тогда площадь \( \triangle AMD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \) см².

   Площадь \( \triangle CMD = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \) см².

   Теперь найдем высоту для \( \triangle AMB \) и \( \triangle CMB \).

   Пусть L - середина AB. Тогда ML - высота \( \triangle AMB \). ML = MK = \( 3\sqrt{5} \) см.

   Площадь \( \triangle AMB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot ML = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \) см².

   Площадь \( \triangle CMB = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot ML = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \) см².

   Итого, площадь боковой поверхности:

   \( S_{бок} = S_{AMD} + S_{CMD} + S_{AMB} + S_{CMB} = 9\sqrt{5} + 9\sqrt{5} + 9\sqrt{5} + 9\sqrt{5} = 4 \cdot 9\sqrt{5} = 36\sqrt{5} \) см².

3. Площадь всей поверхности пирамиды:

   \( S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} \)

   \( S_{пов} = 36 + 36\sqrt{5} = 36(1 + \sqrt{5}) \) см².

Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна \( 36(1 + \sqrt{5}) \) см².