1. Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины основания к боковой стороне, равна 24 м. Найдите площадь треугольника. 2. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиусом 4 см, если боковая сторона трапеции равна 10 см.

Задание 1. Площадь равнобедренного треугольника

Дано:

• Основание равнобедренного треугольника: \( a = 30 \) м.
• Высота, проведённая из вершины основания к боковой стороне: \( h_b = 24 \) м.

Найти: площадь треугольника \( S \).

Решение:

1. Сначала найдём высоту \( h_a \), проведённую к основанию \( a \). Для этого рассмотрим половину равнобедренного треугольника, образованную высотой \( h_a \), половиной основания \( a/2 \) и боковой стороной \( b \).
2. Пусть \( b \) — длина боковой стороны. Тогда \( h_a = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} \).
3. Площадь треугольника можно найти двумя способами: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \) или \( S = \frac{1}{2} b \cdot h_b \).
4. Приравняем выражения для площади: \( \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b \), откуда \( a \cdot h_a = b \cdot h_b \).
5. Подставим известные значения: \( 30 \cdot h_a = b \cdot 24 \).
6. Мы имеем систему уравнений:
• \[ h_a = \sqrt{b^2 - (30/2)^2} = \sqrt{b^2 - 15^2} = \sqrt{b^2 - 225} \]
• \[ 30 \cdot h_a = 24b \]
7. Из второго уравнения выразим \( h_a = \frac{24b}{30} = \frac{4b}{5} \).
8. Подставим это в первое уравнение: \( \frac{4b}{5} = \sqrt{b^2 - 225} \).
9. Возведём обе части в квадрат: \( (\frac{4b}{5})^2 = b^2 - 225 \)
10. \[ \frac{16b^2}{25} = b^2 - 225 \]
11. \[ 16b^2 = 25b^2 - 225 \times 25 \]
12. \[ 9b^2 = 5625 \]
13. \[ b^2 = \frac{5625}{9} = 625 \]
14. \[ b = \sqrt{625} = 25 \] м.
15. Теперь найдём высоту \( h_a \): \( h_a = \frac{4b}{5} = \frac{4 \cdot 25}{5} = 20 \) м.
16. Наконец, найдём площадь: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300 \) м².

Ответ: площадь треугольника 300 м².

Задание 2. Площадь равнобедренной трапеции

Дано:

• Равнобедренная трапеция описана около окружности.
• Радиус вписанной окружности: \( r = 4 \) см.
• Боковая сторона трапеции: \( c = 10 \) см.

Найти: площадь трапеции \( S \).

Решение:

1. Для трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна боковой стороне, умноженной на 2: \( a + b = 2c \).
2. Так как трапеция равнобедренная, то \( a + b = 2 \times 10 = 20 \) см.
3. Высота трапеции \( h \) равна диаметру вписанной окружности, то есть \( h = 2r = 2 \times 4 = 8 \) см.
4. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).
5. Подставим известные значения: \( S = \frac{20}{2} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80 \) см².

Ответ: площадь трапеции 80 см².