1. Определение равнобедренного треугольника. Свойства углов при основании равнобедренного треугольника. 2. Определение биссектрисы угла. Построение биссектрису данного угла. 3. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого. 4. В треугольнике АВС проведены медианы AD и ВЕ. Найдите периметр треугольника АВС если АВ = 8 см, CD = 2 см, АЕ = 4 см.

1. Равнобедренный треугольник

Определение: Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Свойства углов:

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой.
• Биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также высотой и медианой.

2. Биссектриса угла

Определение: Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

Построение: Для построения биссектрисы данного угла можно использовать циркуль и линейку:

1. Из вершины угла провести дугу, пересекающую обе стороны угла.
2. Из точек пересечения провести дуги равного радиуса, пересекающиеся внутри угла.
3. Соединить вершину угла с точкой пересечения дуг — полученный луч будет биссектрисой.

3. Смежные углы

Пусть один смежный угол равен \( x \). Тогда второй смежный угол равен \( 5x \).

Сумма смежных углов равна \( 180^° \).

\( x + 5x = 180^° \)

\( 6x = 180^° \)

\( x = \frac{180^°}{6} = 30^° \)

Второй угол: \( 5x = 5 · 30^° = 150^° \)

Ответ: 30° и 150°.

4. Периметр треугольника АВС

Дано:

• Треугольник АВС
• Медианы AD и ВЕ
• \( AB = 8 \) см
• \( CD = 2 \) см
• \( AE = 4 \) см

Найти: Периметр треугольника АВС

Решение:

Поскольку AD и ВЕ — медианы, они делят стороны пополам.

• \( AE = EC = 4 \) см, следовательно, \( AC = AE + EC = 4 + 4 = 8 \) см.
• \( BD = DC = 2 \) см, следовательно, \( BC = BD + DC = 2 + 2 = 4 \) см.

Периметр треугольника АВС равен сумме длин всех его сторон:

\( P_{ABC} = AB + BC + AC \)

\( P_{ABC} = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} + 8 \text{ см} = 20 \text{ см} \)

Ответ: 20 см.