1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 2. Сформулировать признаки параллельных прямых. Доказать один по выбору обучающегося. 3. Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 150°. 4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника равна основанию треугольника. Найдите его углы.

Билет 8

1. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
2. Биссектриса треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной и делящий угол при вершине пополам.
3. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).
4. Признаки параллельности прямых:
   • Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) соответственные углы равны, то прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
   • Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) сумма односторонних углов равна \( 180^\circ \), то прямые параллельны.
5. Доказательство признака параллельности (по накрест лежащим углам): Пусть секущая \( MN \) пересекает прямые \( a \) и \( b \) так, что накрест лежащие углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) равны. Докажем, что \( a ∥ b \). Предположим, что \( a \) и \( b \) не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке \( P \). Через точку \( P \) проведем прямую \( c \), параллельную \( MN \). Угол между \( c \) и \( a \) равен \( ∠1 \) (как накрест лежащие). Угол между \( c \) и \( b \) равен \( ∠2 \) (как соответственные). Так как \( ∠1 = ∠2 \), то прямая \( c \) образует равные накрест лежащие углы с прямой \( MN \), проходя через точку \( P \). По свойству параллельных прямых, через точку \( P \) проходит только одна прямая, параллельная \( MN \). Следовательно, \( a \) совпадает с \( c \), а \( b \) также совпадает с \( c \). Значит, \( a ∥ b \).
6. Решение задачи 3: \( AB \) и \( CD \) — диаметры окружности, пересекаются в центре \( O \). \( ∠BOD = 150^\circ \). Углы \( ∠AOC \) и \( ∠BOD \) — вертикальные, следовательно, \( ∠AOC = 150^\circ \). Углы \( ∠AOD \) и \( ∠BOC \) — вертикальные. Сумма углов вокруг точки \( O \) равна \( 360^\circ \). \( ∠AOD + ∠BOD = 180^\circ \) (развернутый угол). \( ∠AOD = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \). Треугольник \( AOD \) — равнобедренный, так как \( OA = OD \) (радиусы). Углы при основании равны: \( ∠OAD = ∠ODA = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ \).
7. Решение задачи 4: Пусть в равнобедренном треугольнике \( ABC \) ( \( AB = BC \)) биссектриса \( BD \) угла при основании \( B \) равна основанию \( AC \). То есть \( BD = AC \). В равнобедренном треугольнике биссектриса \( BD \) является также медианой и высотой. Значит, \( D \) — середина \( AC \), \( AD = DC = AC/2 \), и \( BD ⊥ AC \). Так как \( BD = AC \), то \( BD = 2 \times AD \). В прямоугольном треугольнике \( ABD \) катет \( AD \) равен половине гипотенузы \( BD \). Это возможно только если угол \( ABD = 30^\circ \). Тогда угол \( BAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). Если \( BAD = 60^\circ \), то и \( BCD = 60^\circ \). Угол \( ABC = 2 \times ∠ABD = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \). Следовательно, треугольник \( ABC \) — равносторонний.

Ответ: Угол ADO равен 75°. Треугольник равносторонний (углы 60°, 60°, 60°).