1) Определение и свойства многоугольника. Вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника. Формула суммы углов выпуклого многоугольника 2) Доказать теорему о средней линии треугольника. 3) Радиус OB окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см. 4) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь это прямоугольника.

Задание 1. Многоугольники

1. Определение и свойства многоугольника:

Многоугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из конечного числа отрезков. Эти отрезки называются сторонами, а точки их соединения — вершинами.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две не смежные вершины многоугольника.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

Формула суммы углов выпуклого n-угольника:

\[ S = (n-2) \cdot 180^\circ \]
где \( n \) — число сторон (и вершин) многоугольника.

2. Теорема о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

Доказательство:

Пусть \( MN \) — средняя линия треугольника \( ABC \), где \( M \) — середина \( AB \), а \( N \) — середина \( AC \).

1. Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( AMN \). Угол \( A \) у них общий.
2. Так как \( M \) и \( N \) — середины сторон, то \( AM = \frac{1}{2} AB \) и \( AN = \frac{1}{2} AC \).
3. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними (II признак подобия) треугольники \( AMN \) и \( ABC \) подобны.
4. Из подобия следует, что \( \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2} \).
5. Следовательно, \( MN = \frac{1}{2} BC \) и \( MN || BC \).

3. Нахождение длины хорды AC:

Дано:

• Окружность с центром \( O \), радиус \( R = 5 \) см.
• Хорда \( AC \), \( BD — \) диаметр.
• \( BD ⊥ AC \) в точке \( D \).
• \( BD = 1 \) см.

Найти: длину хорды \( AC \).

Решение:

1. Диаметр \( BD \) перпендикулярен хорде \( AC \). По свойству хорды, перпендикулярной диаметру, диаметр делит хорду пополам. То есть, \( AD = DC \) и \( AC = 2 AD \).
2. Точка \( D \) лежит на диаметре \( BD \). По условию \( BD = 1 \) см. Радиус окружности \( R = 5 \) см.
3. Так как \( D \) лежит на отрезке \( BD \), то \( OD \) — это расстояние от центра \( O \) до хорды \( AC \).
4. Поскольку \( D \) лежит на диаметре \( BD \), то \( O \) либо совпадает с \( D \), либо \( D \) между \( O \) и \( B \), либо \( O \) между \( B \) и \( D \).
5. Важный момент: Если \( BD \) — диаметр, то \( O \) — середина \( BD \).
6. Если \( D \) — точка на диаметре, то \( OD \) может быть не равно \( BD \).
7. Уточнение из рисунка: Точка D находится на окружности, так как она обозначена на хорде AC, которая находится внутри окружности, и при этом BD является диаметром.
8. Переосмысление условия: Указано, что \( BD = 1 \) см. Это может быть либо длина отрезка \( BD \), если \( D \) — точка на окружности, либо расстояние от \( B \) до \( D \), если \( D \) — точка внутри окружности.
9. Предположение 1: \( BD \) — хорда, равная 1 см. Тогда \( R = 5 \) см.
10. Предположение 2: \( BD \) — диаметр. Тогда \( BD = 2R = 10 \) см. Но по условию \( BD = 1 \) см. Это противоречие.
11. Перечитываем условие: "Радиус OB окружности с центром в точке О пересекает хорду АС в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды АС, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см."
12. Слово "OB" здесь, скорее всего, ошибка, и должно быть "BD" — диаметр. Но если \( BD = 1 \) см, а радиус \( R = 5 \) см, то \( BD \) не может быть диаметром.
13. Альтернативное толкование: \( B \) — точка на окружности, \( D \) — точка на хорде \( AC \), \( BD=1 \) см — это расстояние от \( B \) до \( D \), где \( BD ⊥ AC \). \( O \) — центр окружности, \( R=5 \) см.
14. Рассмотрим случай, где BD — часть диаметра, перпендикулярного AC.
15. Пусть \( O \) — центр окружности, \( R = 5 \) см. \( AC \) — хорда. \( OD ⊥ AC \). \( D \) — точка пересечения \( OD \) и \( AC \).
16. Если \( BD \) — это отрезок от точки \( B \) на окружности до точки \( D \) на хорде, и \( BD=1 \) см.
17. Предположение, что \( D \) — точка внутри окружности, и \( OD \) — это расстояние от центра до хорды.
18. Если \( BD = 1 \) см — это расстояние от точки \( B \) (на окружности) до точки \( D \) (на хорде).
19. Рассмотрим, что \( D \) — это проекция \( B \) на \( AC \).
20. ИЛИ: \( BD \) — это отрезок, где \( B \) — точка на окружности, \( D \) — точка на хорде, и \( OD ⊥ AC \).
21. Самое вероятное толкование: \( BD \) — это отрезок, где \( D \) — основание перпендикуляра из \( O \) на \( AC \), и \( D \) лежит на хорде \( AC \). А \( BD=1 \) см — это расстояние от точки \( B \) (на окружности) до точки \( D \).
22. Предположим, что \( B \) — точка на окружности, и \( D \) — точка пересечения радиуса \( OB \) с хордой \( AC \), где \( OB ⊥ AC \). Тогда \( D \) — середина \( AC \).
23. Если \( BD=1 \) см — это расстояние от \( B \) до \( D \).
24. Так как \( OB \) — радиус, \( OB = 5 \) см.
25. \( OD = OB - BD = 5 - 1 = 4 \) см. (Если \( D \) между \( O \) и \( B \)).
26. Или \( OD = OB + BD = 5 + 1 = 6 \) см. (Если \( O \) между \( D \) и \( B \) - это невозможно, так как \( D \) на хорде).
27. Или \( OD = BD - OB = 1 - 5 = -4 \) (невозможно).
28. Значит, \( OD = 4 \) см.
29. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ODA \) (или \( ODC \)). \( OA \) — радиус, \( OA = 5 \) см. \( OD = 4 \) см.
30. По теореме Пифагора: \[ AD^2 = OA^2 - OD^2 \]
31. \[ AD^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \]
32. \[ AD = \sqrt{9} = 3 \) см.
33. Так как \( D \) — середина \( AC \), то \( AC = 2 × AD \).
34. \[ AC = 2 × 3 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.

4. Нахождение площади прямоугольника:

Дано:

• Периметр прямоугольника \( P = 56 \) см.
• Диагональ \( d = 27 \) см.

Найти: площадь \( S \).

Решение:

1. Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \).
2. Периметр: \[ P = 2(a + b) \]
3. \( 56 = 2(a + b) \)
4. \( a + b = 28 \)
5. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю: \[ a^2 + b^2 = d^2 \]
6. \( a^2 + b^2 = 27^2 = 729 \)
7. Возведём в квадрат сумму \( a+b \): \[ (a + b)^2 = 28^2 \]
8. \[ a^2 + 2ab + b^2 = 784 \]
9. Подставим \( a^2 + b^2 = 729 \):
10. \[ 729 + 2ab = 784 \]
11. \[ 2ab = 784 - 729 \]
12. \[ 2ab = 55 \]
13. Площадь прямоугольника \( S = a × b \).
14. \[ S = \frac{2ab}{2} = \frac{55}{2} = 27.5 \] см².

Ответ: 27.5 см².