1. Окружность с центром О проведена касательная АВ (А — точка касания). ОВ = 10 см, ∠ABO = 10°. Найдите радиус окружности. 2. Прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите ∠BAC, если ∠AOB = 108°. 3. Прямые АС и АВ касаются окружности с центром О в точках С и В соответственно. Найдите ∠BAC, если ∠COB = 122°.

Задание 1. Касательная к окружности

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательная АВ.
• Точка касания А.
• ОВ = 10 см.
• ∠ABO = 10°.

Найти: радиус окружности.

Решение:

1. Так как АВ — касательная к окружности в точке А, то радиус ОА перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OAB = 90°.
2. Рассмотрим ∠OAB. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
3. ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠ABO = 180° - 90° - 10° = 80°.
4. В треугольнике АОВ ОА — радиус окружности.
5. К сожалению, в условии дана длина отрезка ОВ, а не АВ. Предположим, что в условии имелось в виду ∠AOB = 10°, и тогда ОВ=10см, нужно найти радиус ОА.
6. В прямоугольном треугольнике АОВ, где ∠OAB = 90°: \( \frac{OA}{OB} = \frac{OA}{10} = \textrm{sin}(10^\textrm{o}) \)
7. \( OA = 10 \textrm{sin}(10^\textrm{o}) \)

Ответ: радиус окружности равен \( 10 \textrm{sin}(10^\textrm{o}) \) см.

Задание 2. Касательная и хорда

Дано:

• Окружность с центром О.
• Прямая АС — касательная в точке А.
• ∠AOB = 108°.

Найти: ∠BAC.

Решение:

1. Так как АС — касательная, то радиус ОА перпендикулярен касательной: ∠OAC = 90°.
2. ∠BAC = ∠OAC - ∠OAB.
3. В равнобедренном треугольнике АОВ (ОА = ОВ — радиусы) углы при основании равны: \( ∠OAB = ∠OBA = \frac{180^\textrm{o} - ∠AOB}{2} = \frac{180^\textrm{o} - 108^\textrm{o}}{2} = \frac{72^\textrm{o}}{2} = 36^\textrm{o} \).
4. \( ∠BAC = 90^\textrm{o} - 36^\textrm{o} = 54^\textrm{o} \).

Ответ: ∠BAC = 54°.

Задание 3. Две касательные

Дано:

• Окружность с центром О.
• Прямые АС и АВ касаются окружности в точках С и В соответственно.
• ∠COB = 122°.

Найти: ∠BAC.

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник АСОВ.
2. Так как АС и АВ — касательные, то радиусы ОС и ОВ перпендикулярны касательным в точках касания: ∠ACO = 90° и ∠ABO = 90°.
3. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
4. ∠BAC + ∠ACO + ∠COB + ∠ABO = 360°.
5. ∠BAC + 90° + 122° + 90° = 360°.
6. ∠BAC + 302° = 360°.
7. ∠BAC = 360° - 302° = 58°.

Ответ: ∠BAC = 58°.