1. Один кран наполняет бассейн на 6 часов быстрее другого. Два крана, работая вместе, наполняют бассейн за 4 часа. За сколько часов может наполнить бассейн каждый кран, работая отдельно.

Решение:

Обозначим время, за которое наполняет бассейн первый кран, как \( x \) часов. Тогда второй кран наполняет бассейн за \( x + 6 \) часов.

Производительность первого крана: \( \frac{1}{x} \) бассейна в час.

Производительность второго крана: \( \frac{1}{x+6} \) бассейна в час.

Когда краны работают вместе, их производительность складывается, и они наполняют бассейн за 4 часа. Это значит, что их совместная производительность равна \( \frac{1}{4} \) бассейна в час.

Составим уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x+6 + x}{x(x+6)} = \frac{1}{4} \]\[ \frac{2x+6}{x^2+6x} = \frac{1}{4} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 4(2x+6) = x^2+6x \]\[ 8x+24 = x^2+6x \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 6x - 8x - 24 = 0 \]\[ x^2 - 2x - 24 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100 \]\[ \sqrt{D} = 10 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Так как время не может быть отрицательным, корень \( x_2 = -4 \) отбрасываем.

Следовательно, первый кран наполняет бассейн за \( x = 6 \) часов.

Второй кран наполняет бассейн за \( x+6 = 6+6 = 12 \) часов.

Проверим: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \). Верно.

Ответ: Первый кран наполняет бассейн за 6 часов, второй — за 12 часов.