1. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи? Какой луч называется биссектрисой угла? Объясните, как построить биссектрису данного угла с помощью циркуля и линейки (без доказательства). 2. Докажите признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 3. В равнобедренном треугольнике угол при основании 72°. Найти угол треугольника, лежащий против основания. 4. На прямой последовательно отмечены точки А,В,С,Д. причем АС=8см, BD= 6см. ВС=3см. Найти AD.

1. Луч и биссектриса угла:

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца. Он простирается в одном направлении до бесконечности.

Обозначение лучей: Луч обозначается двумя буквами: первая — начало луча, вторая — любая точка на луче. Например, луч с началом в точке А, проходящий через точку В, обозначается как АВ. Также можно обозначать луч одной буквой, если начало луча — это вершина угла.

Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам.

Построение биссектрисы:

1. Проведите дугу: С помощью циркуля проведите дугу с центром в вершине угла (обозначим её О). Эта дуга должна пересекать обе стороны угла в точках А и В.
2. Постройте пересекающиеся дуги: Не меняя раствора циркуля, проведите две дуги с центрами в точках А и В. Эти дуги должны пересекаться внутри угла. Обозначьте точку пересечения этих дуг как М.
3. Проведите биссектрису: Проведите луч из вершины угла О через точку М. Этот луч ОМ и будет биссектрисой данного угла.

2. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам:

Признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство (по стороне и двум углам):

Рассмотрим два треугольника: △ABC и △A′B′C′.

Условие:

• Сторона AB = стороне A′B′
• Угол ∠A = углу ∠A′
• Угол ∠B = углу ∠B′

Доказать: △ABC = △A′B′C′

Доказательство:

1. Приложим △ABC к △A′B′C′ так, чтобы сторона AB совпала со стороной A′B′.
2. Так как ∠A = ∠A′, то луч AC совпадет с лучом A′C′.
3. Так как ∠B = ∠B′, то луч BC совпадет с лучом B′C′.
4. Следовательно, вершина C совпадет с вершиной C′.
5. Таким образом, △ABC = △A′B′C′.

3. Угол равнобедренного треугольника:

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Угол при основании = 72°.

Найти: Угол, лежащий против основания.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании равны 72°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°.
3. Угол, лежащий против основания (вершинный угол), равен: 180° - (72° + 72°) = 180° - 144° = 36°.

Ответ: 36°

4. Расстояние между точками на прямой:

Дано:

• Точки A, B, C, D на прямой последовательно.
• AC = 8 см
• BD = 6 см
• BC = 3 см

Найти: AD

Решение:

1. Найдем AB: Так как AC = AB + BC, то AB = AC - BC = 8 см - 3 см = 5 см.
2. Найдем CD: Так как BD = BC + CD, то CD = BD - BC = 6 см - 3 см = 3 см.
3. Найдем AD: AD = AB + BC + CD = 5 см + 3 см + 3 см = 11 см.
4. Альтернативный способ: AD = AC + CD = 8 см + 3 см = 11 см.

Ответ: 11 см