1. Найти S_пов 2. Дано: конус ∠ABC = 60°, l=12см Найти: S_бок 3. Дано уравнение сферы: (x-2)² + y² + (z+2)² = 16 Найти координаты центра сферы, радиус и площадь поверхности. 4. Дано: шар OO₁ = 12см, r = 5см Найти: S_шара 5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8√2см и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найти площадь полной поверхности цилиндра. 6. Высота конуса равна 2√3см. Найдите площадь осевого сечения конуса, если оно является правильным треугольником.

1. Поверхность призмы

Для того чтобы найти площадь полной поверхности призмы, нужно знать её высоту и размеры основания. На рисунке указаны размеры основания 2 и 7, но не указано, какая именно фигура лежит в основании. Предположим, что это прямоугольник. Тогда площадь боковой поверхности будет \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), а площадь полной поверхности \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \). Если основанием является прямоугольник со сторонами 2 и 7, то \( S_{осн} = 2 \cdot 7 = 14 \). Если высота равна 2, то \( S_{бок} = (2+7+2+7) \cdot 2 = 18 \cdot 2 = 36 \). Тогда \( S_{полн} = 36 + 2 \cdot 14 = 36 + 28 = 64 \).

Ответ: Недостаточно данных для решения. Если основание — прямоугольник со сторонами 2 и 7, а высота 2, то S_пов = 64.

2. Площадь боковой поверхности конуса

Для нахождения площади боковой поверхности конуса используется формула \( S_{бок} = \pi Rl \), где \( R \) — радиус основания, \( l \) — образующая.

Из рисунка видно, что \( l = 12 \) см. Угол \( \angle ABC = 60^{\circ} \) — это угол при вершине конуса, поэтому \( \angle OBC = 30^{\circ} \) (где \( O \) — центр основания).

В прямоугольном треугольнике \( OBC \):

• \( R = OB \)
• \( OC = l = 12 \) см
• \( \angle OBC = 30^{\circ} \)

Найдем радиус \( R \) через тангенс:

\[ \operatorname{tg}(30^{\circ}) = \frac{OB}{OC} = \frac{R}{12} \]
\[ R = 12 \cdot \operatorname{tg}(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \pi Rl = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 12 = 48\sqrt{3}\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 48\sqrt{3}\pi \text{ см}^2 \).

3. Уравнение сферы

Уравнение сферы в общем виде: \( (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \), где \( (a, b, c) \) — координаты центра сферы, \( R \) — радиус.

Из данного уравнения \( (x-2)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 16 \) следует:

• Координаты центра сферы: \( a = 2 \), \( b = 0 \), \( c = -2 \). Центр находится в точке \( (2, 0, -2) \).
• Радиус сферы: \( R^2 = 16 \), значит \( R = \sqrt{16} = 4 \).
• Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле \( S = 4\pi R^2 \).

\[ S = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi \text{ (единиц площади)} \]

Ответ: Центр сферы: \( (2, 0, -2) \), радиус: \( 4 \), площадь поверхности: \( 64\pi \) (единиц площади).

4. Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле \( S_{шара} = 4\pi R^2 \).

Из условия задачи нам дано, что \( r = 5 \) см. Это и есть радиус шара.

\[ S_{шара} = 4\pi (5)^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \text{ см}^2 \]

Значение \( OO_1 = 12 \) см, вероятно, относится к какой-то другой задаче или к детали изображения, не относящейся к вычислению площади поверхности данного шара.

Ответ: \( 100\pi \text{ см}^2 \).

5. Площадь полной поверхности цилиндра

Дано: диагональ осевого сечения \( d = 8\sqrt{2} \) см, угол между диагональю и основанием \( \alpha = 45^{\circ} \).

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна \( d \).

Пусть \( H \) — высота цилиндра, \( D \) — диаметр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, диаметром и диагональю осевого сечения, имеем:

• \( H = d \sin(\alpha) = 8\sqrt{2} \cdot \sin(45^{\circ}) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot 1 = 8 \) см.
• \( D = d \cos(\alpha) = 8\sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ}) = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot 1 = 8 \) см.

Радиус основания \( R = D/2 = 8/2 = 4 \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{полн} = 2\pi R^2 + 2\pi RH \).

\[ S_{полн} = 2\pi (4)^2 + 2\pi (4)(8) = 2\pi \cdot 16 + 64\pi = 32\pi + 64\pi = 96\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 96\pi \text{ см}^2 \).

6. Площадь осевого сечения конуса

Дано: высота конуса \( h = 2\sqrt{3} \) см. Основание является правильным треугольником, что означает, что осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник.

Площадь осевого сечения конуса равна площади равностороннего треугольника. Формула площади равностороннего треугольника со стороной \( a \): \( S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

В равностороннем треугольнике, являющемся осевым сечением конуса, высота \( h \) связана со стороной \( a \) (которая является образующей конуса, \( l \)) соотношением \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Из этого найдем образующую \( l \) (сторону \( a \) равностороннего треугольника):

\[ 2\sqrt{3} = \frac{l\sqrt{3}}{2} \]
\[ l = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \text{ см} \]

Теперь найдём площадь осевого сечения (равностороннего треугольника со стороной \( l=4 \) см):

\[ S_{сеч} = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: \( 4\sqrt{3} \text{ см}^2 \).