1) Найти производную функции y = sin x / cos x 2) Каким количеством способов можно сшить трехцветный флаг с тремя горизонтальными полосами разного цвета, если имеется материя семи цветов? 3) Найдите объем куба, если площадь его поверхности 24 см². 4) В цилиндре на расстоянии 4 см от оси проведено сечение. Найти площадь полной поверхности цилиндра, если высота цилиндра 7 см, а площадь сечения 42 см². 5) Маша работает в Салоне красоты «Манго», а Тоня в парикмахерской «Пчелка». Маша предлагает Тони перейти на работу в их Салон красоты. Стоит ли Тони согласиться на предложение, если Маша получает 30% от дневной выручки, а Тоня - 30%. Дневная выручка Маши составляет 17000 рублей, из которых 3000 руб. приходиться отдавать за материал, а Тоня делает выручку за день 14000 рублей, из которых приобретает необходимые материалы на сумму 2000 руб.

Решение:

1. Производная функции:

   Используем формулу производной частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). В нашем случае \( u = \sin x \) и \( v = \cos x \).

   Тогда \( u' = \cos x \) и \( v' = -\sin x \).

   Подставляем в формулу:

   \[ y' = \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

   Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), получаем:

   \[ y' = \frac{1}{\cos^2 x} \]

   Также это можно записать как \( y' = \sec^2 x \).

2. Количество способов сшить флаг:

   Для первого цвета у нас есть 7 вариантов. Для второго цвета — 6 оставшихся вариантов. Для третьего цвета — 5 оставшихся вариантов.

   Количество способов равно произведению числа вариантов для каждого цвета:

   \[ P_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210 \]Ответ: 210 способов.
3. Объем куба:

   Площадь поверхности куба равна \( 6a^2 \), где \( a \) — длина ребра.

   По условию, \( 6a^2 = 24 \text{ см}^2 \).

   Найдём длину ребра:

   \[ a^2 = \frac{24}{6} = 4 \text{ см}^2 \] \[ a = \sqrt{4} = 2 \text{ см} \]

   Объем куба равен \( a^3 \):

   \[ V = 2^3 = 8 \text{ см}^3 \]Ответ: 8 см³.
4. Площадь полной поверхности цилиндра:

   Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований (кругов) и боковой поверхности.

   Площадь боковой поверхности равна \( 2\pi r h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

   Площадь основания равна \( \pi r^2 \).

   Полная площадь поверхности цилиндра: \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\pi r^2 + 2\pi r h \).

   Нам дано, что высота \( h = 7 \text{ см} \).

   Сечение, проведенное на расстоянии 4 см от оси, представляет собой прямоугольник. Ширина этого прямоугольника равна высоте цилиндра (7 см), а длина равна хорде основания. Площадь этого сечения равна 42 см².

   Пусть \( b \) — длина хорды. Тогда \( 7 \times b = 42 \), откуда \( b = 6 \text{ см} \).

   Рассмотрим треугольник, образованный радиусом основания \( r \), половиной хорды \( \frac{b}{2} \) и расстоянием от оси до хорды (4 см). По теореме Пифагора:

   \[ r^2 = \left( \frac{b}{2} \right)^2 + 4^2 \] \[ r^2 = \left( \frac{6}{2} \right)^2 + 4^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ r = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]

   Теперь можем найти площадь полной поверхности цилиндра:

   \[ S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi (5^2) + 2\pi (5)(7) \] \[ S_{полн} = 2\pi (25) + 2\pi (35) = 50\pi + 70\pi = 120\pi \text{ см}^2 \]Ответ: 120π см².
5. Стоит ли Тони соглашаться на предложение:

   Расчет дохода Маши:

   Дневная выручка: 17000 руб.

   Выручка за материал: 3000 руб.

   Чистая выручка Маши: 17000 - 3000 = 14000 руб.

   Машин процент от выручки: 30%.

   Доход Маши = 0.30 * 17000 = 5100 руб.

   Расчет дохода Тони:

   Дневная выручка: 14000 руб.

   Выручка за материалы: 2000 руб.

   Чистая выручка Тони: 14000 - 2000 = 12000 руб.

   Тони процент от выручки: 30%.

   Доход Тони = 0.30 * 14000 = 4200 руб.

   Сравнение доходов:

   Доход Маши: 5100 руб.

   Доход Тони: 4200 руб.

   Предложение Маши выгоднее, так как доход при переходе будет выше.

   Ответ: Да, Тони стоит согласиться, так как ее доход увеличится.