1. Найти общее решение: y' = x^3 / y

Решение:

Перед нами дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в виде:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{x^3}{y} \)

Разделим переменные:

\( y dy = x^3 dx \)

Интегрируем обе части уравнения:

\[ \int y dy = \int x^3 dx \]

\[ \frac{y^2}{2} = \frac{x^4}{4} + C \]

Умножим обе части на 2:

\[ y^2 = \frac{x^4}{2} + 2C \]

Обозначим \( C_1 = 2C \) как новую константу:

\[ y^2 = \frac{x^4}{2} + C_1 \]

Выразим \( y \):

\[ y = \pm \sqrt{\frac{x^4}{2} + C_1} \]

Ответ: \( y = \pm \sqrt{\frac{x^4}{2} + C_1} \), где \( C_1 \) — произвольная константа.