1. Найти неопределенный интеграл функции:

1. Неопределенный интеграл функции:

1. \( \int (7x + 4x^8 - 12) dx = \frac{7x^2}{2} + \frac{4x^9}{9} - 12x + C \)
2. \( \int \left( \frac{6}{x} + 3e^x - \frac{2}{\sqrt[4]{x}} \right) dx = 6 \ln|x| + 3e^x - 2 \cdot \frac{x^{3/4}}{3/4} + C = 6 \ln|x| + 3e^x - \frac{8}{3} x^{3/4} + C \)
3. \( \int \left( 5\sin x + \frac{6x}{\sin^2 x} \right) dx = -5\cos x + 6 \int \frac{x}{\sin^2 x} dx \). Для \( \int \frac{x}{\sin^2 x} dx \) используем интегрирование по частям: \( u = x, dv = \frac{1}{\sin^2 x} dx \), \( du = dx, v = -\mathrm{ctg} x \). Тогда \( \int \frac{x}{\sin^2 x} dx = -x \mathrm{ctg} x - \int -\mathrm{ctg} x dx = -x \mathrm{ctg} x + \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = -x \mathrm{ctg} x + \ln|\sin x| \). Итого: \( -5\cos x - 6x \mathrm{ctg} x - 6\ln|\sin x| + C \).
4. \( \int \left( 8\cos x - 2\mathrm{tg} x + \frac{1}{1+x^2} \right) dx = 8\sin x - 2\ln|\cos x| + \mathrm{arctg} x + C \)