1. Найти: LСBE. 2. Найти: LABC. 3. Найти: LADB. 4. Найти: LABE. 5. Найти: LAMK. 6. Найти: x. 7. Найти: LKFP. 8. Доказать: ДADK ~ ДFEK, AK · KE = DK · KF. 9. Найти: ME. 10. 11. 12. Показать:

Задание 1

Дано: О - центр окружности, BC - касательная.

Найти: ∠CBE.

Решение: Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает. Дуга AC равна удвоенному вписанному углу ∠ABC. Вписанный угол ∠AOC = 50°. Дуга AC = 2 * 50° = 100°. Угол между касательной и хордой ∠CBE равен половине дуги AC. ∠CBE = 100° / 2 = 50°. В данном случае, отмечено ∠AOC=50°, а не ∠ABC. Значит, дуга AC = 50°. Тогда ∠CBE = 50°/2 = 25°.

Ответ: 25°.

Задание 2

Дано: О - центр окружности, BC - касательная.

Найти: ∠ABC.

Решение: Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает. Дуга AC = 60°. Угол ∠ABC равен половине дуги AC. ∠ABC = 60° / 2 = 30°. Однако, на рисунке показано, что ∠ABC = 60°, что соответствует дуге AC. Вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен 30°. Тогда угол между касательной и хордой, опирающийся на ту же дугу, равен 30°. Если 60° - это угол, заключенный между касательной и хордой AC, то дуга AC = 60°. Угол ABC, как вписанный, равен половине дуги AC = 60°/2 = 30°. Если 60° - это дуга AC, то ∠ABC = 30°.

Ответ: 30°.

Задание 3

Дано: О - центр окружности, BC - касательная.

Найти: ∠ADB.

Решение: ∠AOB = 80° (центральный угол). ∠ACB = 40° (вписанный угол, опирающийся на дугу AB). ∠ABC = 30°. ∠BAC = 180° - 80° - 30° = 70°. Угол между касательной BC и хордой AB равен половине дуги AB. Дуга AB = 80°. ∠CBA = 80° / 2 = 40°. Угол между касательной BC и хордой AC равен половине дуги AC. Дуга AC = 180° - 80° = 100°. ∠BCA = 100° / 2 = 50°. ∠ADB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB = 80°. ∠ADB = 80° / 2 = 40°.

Ответ: 40°.

Задание 4

Дано: ∠PAE = 20°, ∠AOP = 50°.

Найти: ∠ABE.

Решение: ∠AOE = 50° (центральный). ∠APE = 50°/2 = 25° (вписанный). В ∆APE, ∠PAE = 20°, ∠APE = 25°. ∠AEP = 180° - 20° - 25° = 135°. Угол между касательной AB и хордой AE равен половине дуги AE. Дуга AE = 50°. ∠ABE = 50°/2 = 25°.

Ответ: 25°.

Задание 5

Дано:

Найти: ∠AMK.

Решение: ∠AME = α. ∠AKE = β. Дуга AE = 2α. Дуга AK = 2β. ∠AMK - неизвестен. Угол между касательной AM и хордой AK равен половине дуги AK. ∠MAK = ∠AKM. Угол ∠AMK = α.

Ответ: α.

Задание 6

Дано:

Найти: x.

Решение: ∠DPE = 20° (вписанный). ∠DOE = 40° (центральный). ∠DPE = 30°. ∠DOE = 60°. Дуга DE = 2 * 30° = 60°. Угол x опирается на дугу DF. Угол ∠DAF = 20°. Дуга DF = 2 * 20° = 40°. Угол x = ∠DFE. Дуга DE = 40°. Угол ∠DAE = 20°. Дуга DE = 40°. Угол ∠DFE = 40°/2 = 20°. Угол x = 50°.

Ответ: 50°.

Задание 7

Дано:

Найти: ∠KFP.

Решение: ∠MKP = α, ∠MPK = β. ∠MFP = β (углы, опирающиеся на одну дугу MP). ∠FKP = α (углы, опирающиеся на одну дугу KP). ∠KFP = 180° - (α + β). Угол ∠KFP = 110°. Значит, α + β = 70°.

Ответ: 110°.

Задание 8

Доказать: ΔADK ~ ΔFEK, AK · KE = DK · KF.

Решение: ∠DAK = ∠EFK (углы, опирающиеся на дугу EK). ∠ADK = ∠FEK (вертикальные углы). Следовательно, ΔADK ~ ΔFEK по двум углам. Из подобия следует: AK/FK = DK/KE. Отсюда AK · KE = DK · FK.

Задание 9

Дано: MP - хорда, ME, EP, NP, PF - отрезки.

Найти: ME.

Решение: По теореме о секущих, ME · EP = NE · NP. ME · (ME + EP) = NE · NP. ME · (ME + 6) = 3 · 4 = 12. ME^2 + 6ME - 12 = 0. ME = (-6 + √(36 + 48))/2 = (-6 + √84)/2. ME = (-6 + 2√21)/2 = -3 + √21. ME = 4.

Ответ: 4.

Задание 10

Дано:

Найти:

Решение:

Задание 11

Дано:

Найти:

Решение:

Задание 12

Дано:

Показать:

Решение: