1. Найдите значение выражения: a) $$\frac{-6 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{\sqrt{324}}{6}$$ б) $$a^{-\frac{3}{2}} : a^2$$ при $$a = 0,1$$ в) $$5^{\log_5 3} \cdot \log_2 8$$ г) $$2 \log_2 3 + \log_2 \frac{1}{3}$$

Решение:

а)

1. Вычислим корень из 1/4: \( \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{2^{2/3}} \).
2. Вычислим \( \sqrt{324} = 18 \).
3. Подставим значения: \( \frac{-6 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}}}{3} + \frac{18}{6} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + 3 = -2 \cdot \frac{1}{2^{2/3}} + 3 = -2^{1 - 2/3} + 3 = -2^{1/3} + 3 \).

б)

1. Упростим выражение: \( a^{-\frac{3}{2}} : a^2 = a^{-\frac{3}{2} - 2} = a^{-\frac{3}{2} - \frac{4}{2}} = a^{-\frac{7}{2}} \).
2. Подставим \( a = 0,1 = \frac{1}{10} \): \( \left(\frac{1}{10}\right)^{-\frac{7}{2}} = 10^{\frac{7}{2}} = 10^3 \sqrt{10} = 1000\sqrt{10} \).

в)

1. Воспользуемся свойством логарифма: \( a^{\log_a b} = b \).
2. Следовательно, \( 5^{\log_5 3} = 3 \).
3. Вычислим \( \log_2 8 = 3 \), так как \( 2^3 = 8 \).
4. Перемножим результаты: \( 3 \cdot 3 = 9 \).

г)

1. Воспользуемся свойствами логарифма: \( n \log_a b = \log_a b^n \) и \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).
2. \( 2 \log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9 \).
3. \( \log_2 9 + \log_2 \frac{1}{3} = \log_2 \left( 9 \cdot \frac{1}{3} \right) = \log_2 3 \).

Ответ: а) \( 3 - \sqrt[3]{2} \); б) \( 1000\sqrt{10} \); в) 9; г) \( \log_2 3 \).