1. Найдите значение выражения: a) 5-4.52; б) 12-3:12-4; в) (3-1)-3. 2. Упростите выражение: a) (a-5)4. a22; б) 0,4x6y-8.50x-5y9. 3. Преобразуйте выражение: a) (1/6 x-4 y3)-1; б) (3a-4 / 2b-3)-2 . 10a7b3. 4. Вычислите: 2-6.4-3 / 8-7 . 5. Представьте произведение (3,5.10-5) . (6,4.102) в стандартном виде числа. 6. Представьте выражение (x-1-y-1)(x-y)-1 в виде рациональной дроби.

Задание 1. Нахождение значений выражений

а) \( 5^{-4} \cdot 5^2 \)

При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются:

\[ 5^{-4} \cdot 5^2 = 5^{-4+2} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]

б) \( 12^{-3} : 12^{-4} \)

При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:

\[ 12^{-3} : 12^{-4} = 12^{-3 - (-4)} = 12^{-3+4} = 12^1 = 12 \]

в) \( (3^{-1})^{-3} \)

При возведении степени в степень, показатели перемножаются:

\[ (3^{-1})^{-3} = 3^{(-1) \cdot (-3)} = 3^3 = 27 \]

Ответ: а) \( \frac{1}{25} \); б) 12; в) 27.

Задание 2. Упрощение выражений

а) \( (a^{-5})^4 \cdot a^{22} \)

При возведении степени в степень, показатели перемножаются:

\[ (a^{-5})^4 = a^{-5 \cdot 4} = a^{-20} \]

Теперь умножим:

\[ a^{-20} \cdot a^{22} = a^{-20+22} = a^2 \]

б) \( 0.4x^6y^{-8} \cdot 50x^{-5}y^9 \)

Сначала умножим числовые коэффициенты:

\[ 0.4 \cdot 50 = 20 \]

Теперь умножим степени с одинаковым основанием:

\[ x^6 \cdot x^{-5} = x^{6+(-5)} = x^1 = x \]

\( y^{-8} \cdot y^9 = y^{-8+9} = y^1 = y \)

Собираем всё вместе:

\[ 20xy \]

Ответ: а) \( a^2 \); б) \( 20xy \).

Задание 3. Преобразование выражений

а) \( \left(\frac{1}{6}x^{-4}y^3\right)^{-1} \)

При возведении дроби в отрицательную степень, дробь переворачивается, а степень становится положительной. Или можно возвести числитель и знаменатель в степень:

\[ \left(\frac{1}{6}x^{-4}y^3\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{6}x^{-4}y^3} = \frac{6}{x^{-4}y^3} = 6x^4y^{-3} \]

Или так:

\[ \left(\frac{1}{6}x^{-4}y^3\right)^{-1} = \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} \cdot (x^{-4})^{-1} \cdot (y^3)^{-1} = 6 \cdot x^4 \cdot y^{-3} = 6x^4y^{-3} \]

б) \( \left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} \cdot 10a^7b^3 \)

Сначала возведем дробь в степень -2:

\[ \left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} = \left(\frac{2b^{-3}}{3a^{-4}}\right)^{2} = \frac{(2b^{-3})^2}{(3a^{-4})^2} = \frac{2^2 \cdot (b^{-3})^2}{3^2 \cdot (a^{-4})^2} = \frac{4b^{-6}}{9a^{-8}} = \frac{4a^8}{9b^6} \]

Теперь умножим на \( 10a^7b^3 \):

\[ \frac{4a^8}{9b^6} \cdot 10a^7b^3 = \frac{4 \cdot 10 \cdot a^8 \cdot a^7 \cdot b^3}{9 \cdot b^6} = \frac{40a^{15}b^3}{9b^6} = \frac{40a^{15}}{9b^3} \]

Ответ: а) \( 6x^4y^{-3} \); б) \( \frac{40a^{15}}{9b^3} \).

Задание 4. Вычисление

\( \frac{2^{-6} \cdot 4^{-3}}{8^{-7}} \)

Представим все числа в виде степени двойки:

\[ 4 = 2^2 \]

\( 8 = 2^3 \)

Подставим в выражение:

\[ \frac{2^{-6} \cdot (2^2)^{-3}}{(2^3)^{-7}} = \frac{2^{-6} \cdot 2^{2 \cdot (-3)}}{2^{3 \cdot (-7)}} = \frac{2^{-6} \cdot 2^{-6}}{2^{-21}} = \frac{2^{-6+(-6)}}{2^{-21}} = \frac{2^{-12}}{2^{-21}} \]

При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:

\[ 2^{-12 - (-21)} = 2^{-12+21} = 2^9 \]

Вычислим \( 2^9 \):

\[ 2^9 = 512 \]

Ответ: 512.

Задание 5. Представление произведения в стандартном виде

\( (3.5 \cdot 10^{-5}) \cdot (6.4 \cdot 10^2) \)

Перемножим числовые коэффициенты и степени десятки отдельно:

\[ (3.5 \cdot 6.4) \cdot (10^{-5} \cdot 10^2) \]

Вычислим произведение коэффициентов:

\[ 3.5 \cdot 6.4 = 22.4 \]

Вычислим произведение степеней десятки:

\[ 10^{-5} \cdot 10^2 = 10^{-5+2} = 10^{-3} \]

Теперь объединим:

\[ 22.4 \cdot 10^{-3} \]

Чтобы представить число в стандартном виде, мантисса (число перед степенью десятки) должна быть больше или равна 1 и меньше 10. Для этого сдвинем запятую в \( 22.4 \) на один знак влево:

\[ 22.4 = 2.24 \cdot 10^1 \]

Подставим это обратно:

\[ (2.24 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3} = 2.24 \cdot 10^{1+(-3)} = 2.24 \cdot 10^{-2} \]

Ответ: \( 2.24 \cdot 10^{-2} \).

Задание 6. Представление выражения в виде рациональной дроби

\( (x^{-1} - y^{-1})(x-y)^{-1} \)

Сначала раскроем отрицательные степени:

\[ x^{-1} = \frac{1}{x} \]

\( y^{-1} = \frac{1}{y} \)

\( (x-y)^{-1} = \frac{1}{x-y} \)

Подставим в исходное выражение:

\[ \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{x-y} \]

Приведем к общему знаменателю выражение в первой скобке:

\[ \frac{y - x}{xy} \]

Теперь умножим:

\[ \frac{y - x}{xy} \cdot \frac{1}{x-y} = \frac{y - x}{xy(x-y)} \]

Заметим, что \( y - x = -(x - y) \). Подставим это:

\[ \frac{-(x - y)}{xy(x-y)} \]

Сократим \( (x-y) \):

\[ -\frac{1}{xy} \]

Ответ: \( -\frac{1}{xy} \).