1. Найдите значение выражения 7/(29:2 - 11,6) + 1/9 2. Решите уравнение: a) 3,1x - 0,55 = 1,8x - 40,2; б) 4:2 5/6 = 2,9:a 3. Постройте треугольник ABC, если A(-1; 2), B(-2; -3), C(6; 1). Запишите координаты точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат. 4. Туристы в первый день прошли 16% всего пути, во второй день проплыли по реке на плоту 2/9 всего пути. Какой путь проделали туристы во второй день, если в первый они прошли 18 км? 5*. В двузначном натуральном числе сумма цифр равна 14. Число десятков на 4 больше числа единиц. Найдите это число.

Задание 1. Найдите значение выражения

Вычислим значение выражения:

\[ \frac{7}{29 \div 2 \frac{5}{6} - 11.6} + \frac{1}{9} \]

1. Переведём смешанную дробь во в неправильную: \( 2 \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6} \).
2. Вычислим деление: \( 29 \div \frac{17}{6} = 29 \cdot \frac{6}{17} = \frac{174}{17} \).
3. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: \( 11.6 = \frac{116}{10} = \frac{58}{5} \).
4. Вычислим знаменатель первой дроби: \( \frac{174}{17} - \frac{58}{5} \). Приведём к общему знаменателю \( 17 \cdot 5 = 85 \): \( \frac{174 \cdot 5 - 58 \cdot 17}{85} = \frac{870 - 986}{85} = \frac{-116}{85} \).
5. Теперь подставим это значение в первую дробь: \( \frac{7}{\frac{-116}{85}} = 7 \cdot \frac{85}{-116} = \frac{-595}{116} \).
6. Сложим результаты: \( \frac{-595}{116} + \frac{1}{9} \). Приведём к общему знаменателю \( 116 \cdot 9 = 1044 \): \( \frac{-595 \cdot 9 + 1 \cdot 116}{1044} = \frac{-5355 + 116}{1044} = \frac{-5239}{1044} \).

Ответ: \( \frac{-5239}{1044} \).

Задание 2. Решите уравнение

а) \( 3.1x - 0.55 = 1.8x - 40.2 \)

1. Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а свободные члены — в правую: \( 3.1x - 1.8x = -40.2 + 0.55 \).
2. Упростим: \( 1.3x = -39.65 \).
3. Найдем \( x \), разделив обе части на 1.3: \( x = \frac{-39.65}{1.3} \).
4. Выполним деление: \( x = -30.5 \).

б) \( 4 \frac{2}{6} : 2 = 2.9 : a \)

1. Упростим смешанную дробь: \( 4 \frac{2}{6} = 4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3} \).
2. Выполним деление: \( \frac{13}{3} : 2 = \frac{13}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{13}{6} \).
3. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{13}{6} = 2.9 : a \).
4. Выразим \( a \): \( a = \frac{2.9 \cdot 6}{\frac{13}{3}} \).
5. Преобразуем: \( a = \frac{\frac{29}{10} \cdot 6}{\frac{13}{3}} = \frac{\frac{174}{10}}{\frac{13}{3}} = \frac{17.4}{\frac{13}{3}} \).
6. Вычислим: \( a = 17.4 \cdot \frac{3}{13} = \frac{52.2}{13} = 4.015... \).
7. Переведём 2.9 в дробь: \( 2.9 = \frac{29}{10} \).
8. Теперь уравнение: \( \frac{13}{6} = \frac{29}{10} : a \).
9. Выразим \( a \): \( a = \frac{29}{10} : \frac{13}{6} = \frac{29}{10} \cdot \frac{6}{13} = \frac{29 \cdot 3}{5 \cdot 13} = \frac{87}{65} \).

Ответ: а) \( x = -30.5 \); б) \( a = \frac{87}{65} \).

Задание 3. Построение треугольника и нахождение точек пересечения

Даны координаты вершин треугольника \( A(-1; 2) \), \( B(-2; -3) \), \( C(6; 1) \).

Найдем длины сторон треугольника:

\( AB = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \).

\( BC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \).

\( AC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \).

Наибольшая сторона — \( BC \) (так как \( \sqrt{80} \) — наибольшее значение).

Найдем уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.

Прямая BC:

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \).

Для точек \( B(-2; -3) \) и \( C(6; 1) \):

\[ \frac{x - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{y - (-3)}{1 - (-3)} \]

\[ \frac{x + 2}{8} = \frac{y + 3}{4} \]

\[ 4(x + 2) = 8(y + 3) \]

\[ 4x + 8 = 8y + 24 \]

\[ 4x - 8y - 16 = 0 \]

\[ x - 2y - 4 = 0 \]

Найдём точки пересечения прямой BC с осями координат:

С осью OX (y = 0):

\[ x - 2(0) - 4 = 0 \]

\[ x - 4 = 0 \]

\[ x = 4 \]

Точка пересечения с осью OX: \( (4; 0) \).

С осью OY (x = 0):

\[ 0 - 2y - 4 = 0 \]

\[ -2y = 4 \]

\[ y = -2 \]

Точка пересечения с осью OY: \( (0; -2) \).

Ответ: Точки пересечения большей стороны \( BC \) с осями координат: \( (4; 0) \) и \( (0; -2) \).

Задание 4. Расстояние, пройденное туристами

Дано:

• Первый день: 16% всего пути.
• Второй день: \( \frac{2}{9} \) всего пути.
• Путь в первый день: 18 км.

Найти: путь, пройденный во второй день.

Решение:

1. Пусть \( S \) — общая длина всего пути.
2. 16% всего пути равно 18 км. Переведём проценты в десятичную дробь: \( 16\% = 0.16 \).
3. Составим уравнение: \( 0.16 S = 18 \).
4. Найдем общую длину пути: \( S = \frac{18}{0.16} = \frac{1800}{16} = \frac{900}{8} = \frac{450}{4} = \frac{225}{2} = 112.5 \) км.
5. Теперь найдем путь, пройденный во второй день: \( \frac{2}{9} \) от всего пути.
6. Путь во второй день = \( \frac{2}{9} \cdot 112.5 = \frac{2}{9} \cdot \frac{225}{2} = \frac{225}{9} = 25 \) км.

Ответ: Во второй день туристы проплыли 25 км.

Задание 5*. Найдите двузначное число

Пусть двузначное число состоит из цифры десятков \( x \) и цифры единиц \( y \). Число можно записать как \( 10x + y \).

1. Сумма цифр равна 14: \( x + y = 14 \).
2. Число десятков на 4 больше числа единиц: \( x = y + 4 \).
3. Подставим второе уравнение в первое: \( (y + 4) + y = 14 \).
4. Упростим: \( 2y + 4 = 14 \).
5. Найдем \( y \): \( 2y = 10 \), \( y = 5 \).
6. Найдем \( x \), подставив \( y \) во второе уравнение: \( x = 5 + 4 = 9 \).
7. Цифра десятков — 9, цифра единиц — 5. Число: \( 10 \cdot 9 + 5 = 95 \).
8. Проверим: сумма цифр \( 9 + 5 = 14 \). Число десятков (9) на 4 больше числа единиц (5).

Ответ: Это число 95.