1. Найдите значение выражения: 20 : 3 \frac{1}{3} - 5,6 + 1 \frac{3}{4} 2. Решите уравнение: a) 3,4x + 0,65 = 0.9x - 25,6 б) 1 \frac{1}{5} : 5 \frac{2}{9} = x : 4,7 3. Постройте треугольник ВCF, если В (6; -1), C (-4; 4), F (-1; -3). Запишите координат точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат. 4. Путешественник в первый день проехал 14 % всего пути, а во второй день - \frac{3}{7} всего пути. Какой путь путешественник проехал во второй день, если в первый он прошел 49 км. 5. В двузначном натуральном числе сумма цифр равна 16. Число десятков на 2 мень числа единиц. Найдите это число.

Задание 1. Вычисление значения выражения

Дано:

• Выражение: \( 20 : 3 \frac{1}{3} - 5,6 + 1 \frac{3}{4} \)

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 3 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} \)
• \( 1 \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4} \)
2. Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \( 5,6 = \frac{56}{10} = \frac{28}{5} \)
3. Выполним деление:
• \( 20 : \frac{10}{3} = 20 \cdot \frac{3}{10} = \frac{20 \cdot 3}{10} = 2 \cdot 3 = 6 \)
4. Теперь выражение выглядит так: \( 6 - \frac{28}{5} + \frac{7}{4} \)
5. Приведём к общему знаменателю (20):
• \( 6 = \frac{6 \cdot 20}{20} = \frac{120}{20} \)
• \( \frac{28}{5} = \frac{28 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{112}{20} \)
• \( \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{35}{20} \)
6. Выполним вычитание и сложение:
• \( \frac{120}{20} - \frac{112}{20} + \frac{35}{20} = \frac{120 - 112 + 35}{20} = \frac{8 + 35}{20} = \frac{43}{20} \)
7. Переведём в десятичную дробь: \( \frac{43}{20} = \frac{43 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{215}{100} = 2,15 \)

Ответ: 2,15.

Задание 2. Решение уравнений

а) 3,4x + 0,65 = 0.9x - 25,6

Решение:

1. Перенесём члены с 'x' в одну сторону, а числовые члены — в другую:
• \( 3,4x - 0,9x = -25,6 - 0,65 \)
2. Выполним вычитание:
• \( 2,5x = -26,25 \)
3. Разделим обе части на 2,5:
• \( x = \frac{-26,25}{2,5} \)
• \( x = -10,5 \)

Ответ: x = -10,5.

б) 1 \frac{1}{5} : 5 \frac{2}{9} = x : 4,7

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 1 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5} \)
• \( 5 \frac{2}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{47}{9} \)
2. Запишем пропорцию:
• \( \frac{6}{5} : \frac{47}{9} = x : 4,7 \)
3. Выполним деление дробей:
• \( \frac{6}{5} \cdot \frac{9}{47} = \frac{54}{235} \)
4. Теперь уравнение выглядит так: \( \frac{54}{235} = x : 4,7 \)
5. Выразим x:
• \( x = \frac{54}{235} \cdot 4,7 \)
• \( x = \frac{54}{235} \cdot \frac{47}{10} \)
• \( x = \frac{54 \cdot 47}{235 \cdot 10} \)
• Заметим, что \( 235 = 5 \cdot 47 \). Сократим:
• \( x = \frac{54 \cdot 47}{5 \cdot 47 \cdot 10} = \frac{54}{5 \cdot 10} = \frac{54}{50} \)
6. Переведём в десятичную дробь: \( x = \frac{54}{50} = \frac{108}{100} = 1,08 \)

Ответ: x = 1,08.

Задание 3. Построение треугольника BCF

Дано:

• Точка B: (6; -1)
• Точка C: (-4; 4)
• Точка F: (-1; -3)

Решение:

Сначала построим точки B, C, F на координатной плоскости и соединим их, чтобы получить треугольник BCF.

Для определения большей стороны, вычислим длины сторон треугольника:

Длина BC:

• \( BC = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(6+4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{10^2 + 25} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} \)

Длина CF:

• \( CF = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{(-4+1)^2 + (4+3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \)

Длина BF:

• \( BF = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{(6+1)^2 + (-1+3)^2} = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \)

Сравнивая длины сторон: \( oldsymbol{\sqrt{125}} \), \( oldsymbol{\sqrt{58}} \), \( oldsymbol{\sqrt{53}} \). Наибольшая сторона — BC, так как \( 125 > 58 \) и \( 125 > 53 \).

Теперь найдём точки пересечения стороны BC с осями координат.

1. Пересечение с осью x (y=0):

Уравнение прямой, проходящей через точки B(6; -1) и C(-4; 4). Сначала найдём угловой коэффициент:

• \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-1)}{-4 - 6} = \frac{4+1}{-10} = \frac{5}{-10} = -0,5 \)

Уравнение прямой: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)

• \( y - (-1) = -0,5(x - 6) \)
• \( y + 1 = -0,5x + 3 \)
• \( y = -0,5x + 2 \)

Чтобы найти точку пересечения с осью x, подставим \( y = 0 \):

• \( 0 = -0,5x + 2 \)
• \( 0,5x = 2 \)
• \( x = \frac{2}{0,5} = 4 \)

Точка пересечения с осью x: (4; 0).

2. Пересечение с осью y (x=0):

Подставим \( x = 0 \) в уравнение прямой \( y = -0,5x + 2 \):

• \( y = -0,5(0) + 2 \)
• \( y = 2 \)

Точка пересечения с осью y: (0; 2).

Ответ: Точки пересечения большей стороны BC с осями координат: (4; 0) и (0; 2).

Задание 4. Расстояние, пройденное путешественником

Дано:

• В первый день проехал: 14% всего пути.
• Во второй день проехал: \( \frac{3}{7} \) всего пути.
• Расстояние, пройденное в первый день: 49 км.

Найти: расстояние, пройденное во второй день.

Решение:

1. Сначала найдём общую длину пути. Мы знаем, что 14% пути равны 49 км.
• Пусть весь путь равен \( S \) км.
• \( 14 \% \text{ от } S = 49 \) км
• \( 0,14 \cdot S = 49 \)
• \( S = \frac{49}{0,14} = \frac{4900}{14} = 350 \) км.
2. Теперь найдём расстояние, пройденное во второй день. Это \( \frac{3}{7} \) от всего пути:
• \( \text{Расстояние во второй день} = \frac{3}{7} \cdot S \)
• \( \text{Расстояние во второй день} = \frac{3}{7} \cdot 350 \)
• \( \text{Расстояние во второй день} = 3 \cdot \frac{350}{7} = 3 \cdot 50 = 150 \) км.

Ответ: 150 км.

Задание 5. Поиск двузначного числа

Дано:

• Число двузначное.
• Сумма цифр числа равна 16.
• Число десятков на 2 меньше числа единиц.

Найти: это число.

Решение:

1. Пусть число десятков равно \( x \).
2. Тогда число единиц равно \( x + 2 \) (так как число десятков на 2 меньше числа единиц).
3. Сумма цифр равна 16, значит:
• \( x + (x + 2) = 16 \)
• \( 2x + 2 = 16 \)
• \( 2x = 16 - 2 \)
• \( 2x = 14 \)
• \( x = 7 \)
4. Число десятков равно 7.
5. Число единиц равно \( x + 2 = 7 + 2 = 9 \).
6. Число состоит из цифр 7 (десятки) и 9 (единицы).
7. Таким образом, число — 79.
8. Проверим: сумма цифр \( 7 + 9 = 16 \), число десятков (7) на 2 меньше числа единиц (9). Условия выполнены.

Ответ: 79.