1. Найдите производную функции: 1) y = 12x²-6x+3 2) y = sin x + 2x³ 3) y = 4x-4cos x 4) y = 13x² + 8x-7 5) y = 7sin x + 2x4 6) y = 3x-5cos x 7) y = 4x²-2x14 8) y = x²-8x10 9) y = (x+5)4 10) y = 2(2x+5)² 11) y = 2x+(3-x)² 12) y = x-6+x2 2. Найдите значения производной a) y = 12x² -6 х+3 в точках: 0; -1; 2; -3. б) у = 2(х-6)² в точках: 0; -1; 2; -3

Решение:

Привет! Сейчас разберем, как найти производные функций. Помни, что производная показывает скорость изменения функции.

1. Производная от степенной функции xⁿ равна nxⁿ⁻¹.
2. Производная от константы равна 0.
3. Производная от суммы/разности функций равна сумме/разности их производных.
4. Производная от sin(x) равна cos(x).
5. Производная от cos(x) равна -sin(x).

1. Производные функций:

• 1) y = 12x² - 6x + 3
y' = 12 · 2x¹ - 6 · 1 + 0 = 24x - 6
• 2) y = sin x + 2x³
y' = cos x + 2 · 3x² = cos x + 6x²
• 3) y = 4x - 4cos x
y' = 4 - 4(-· sin x) = 4 + 4sin x
• 4) y = 13x² + 8x - 7
y' = 13 · 2x + 8 - 0 = 26x + 8
• 5) y = 7sin x + 2x⁴
y' = 7cos x + 2 · 4x³ = 7cos x + 8x³
• 6) y = 3x - 5cos x
y' = 3 - 5(-· sin x) = 3 + 5sin x
• 7) y = 4x⁵ - 2x¹⁴
y' = 4 · 5x⁴ - 2 · 14x¹³ = 20x⁴ - 28x¹³
• 8) y = x⁵ - 8x¹⁰
y' = 5x⁴ - 8 · 10x⁹ = 5x⁴ - 80x⁹
• 9) y = (x+5)⁴
y' = 4(x+5)³ · 1 (по правилу цепочки) = 4(x+5)³
• 10) y = 2(2x+5)²
y' = 2 · 2(2x+5)¹ · 2 = 8(2x+5)
• 11) y = 2x + (3-x)²
y' = 2 + 2(3-x)¹ · (-1) = 2 - 2(3-x) = 2 - 6 + 2x = 2x - 4
• 12) y = x⁻⁶ + x²
y' = -6x⁻⁷ + 2x

2. Значения производной в точках:

Сначала найдем производную для каждой функции:

• a) y = 12x² - 6x + 3
y' = 24x - 6
• б) y = 2(x-6)² = 2(x² - 12x + 36) = 2x² - 24x + 72
y' = 4x - 24

Теперь подставим точки:

• а) y' = 24x - 6
  • При x = 0: y' = 24(0) - 6 = -6
  • При x = -1: y' = 24(-1) - 6 = -24 - 6 = -30
  • При x = 2: y' = 24(2) - 6 = 48 - 6 = 42
  • При x = -3: y' = 24(-3) - 6 = -72 - 6 = -78
• б) y' = 4x - 24
  • При x = 0: y' = 4(0) - 24 = -24
  • При x = -1: y' = 4(-1) - 24 = -4 - 24 = -28
  • При x = 2: y' = 4(2) - 24 = 8 - 24 = -16
  • При x = -3: y' = 4(-3) - 24 = -12 - 24 = -36

Итог:

Производная помогает понять, как быстро меняется функция. Мы использовали правила дифференцирования для степенной функции, синуса, косинуса и правила дифференцирования суммы/разности и цепочки.