1. Найдите площадь круга и длину окружности, если радиус окружности равен 5 см. 2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 15 см и 12 см. 3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 12 см., если его центральный угол равен 20°. 4. Площадь кругового сектора равна 10π м², а его радиус равен 6м. Найдите центральный угол сектора. 5. Найдите длину дуги окружности радиуса 12 дм, если ее градусная мера равна 60°.

Задание 1. Площадь круга и длина окружности

Дано:

• Радиус окружности: \( r = 5 \) см.

Найти:

• Площадь круга: \( S \)
• Длину окружности: \( C \)

Решение:

1. Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \]
2. Подставляем значение радиуса: \[ S = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 = 25\pi \text{ см}^2 \]
3. Длина окружности вычисляется по формуле: \[ C = 2\pi r \]
4. Подставляем значение радиуса: \[ C = 2\pi \cdot 5 \text{ см} = 10\pi \text{ см} \]

Ответ: Площадь круга 25\( \pi \) см², длина окружности 10\( \pi \) см.

Задание 2. Площадь кольца

Дано:

• Радиус большей окружности: \( R = 15 \) см.
• Радиус меньшей окружности: \( r = 12 \) см.

Найти: Площадь кольца \( S_{\text{кольца}} \).

Решение:

1. Площадь кольца равна разности площадей большей и меньшей окружностей: \[ S_{\text{кольца}} = S_{\text{большой}} - S_{\text{меньшей}} = \pi R^2 - \pi r^2 \]
2. Выносим \( \pi \) за скобки: \[ S_{\text{кольца}} = \pi (R^2 - r^2) \]
3. Подставляем значения радиусов: \[ S_{\text{кольца}} = \pi ((15 \text{ см})^2 - (12 \text{ см})^2) = \pi (225 \text{ см}^2 - 144 \text{ см}^2) \]
4. Вычисляем: \[ S_{\text{кольца}} = \pi (81 \text{ см}^2) = 81\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь кольца 81\( \pi \) см².

Задание 3. Площадь кругового сектора

Дано:

• Радиус сектора: \( r = 12 \) см.
• Центральный угол: \( \alpha = 20° \).

Найти: Площадь кругового сектора \( S_{\text{сектора}} \).

Решение:

1. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 \]
2. Подставляем значения: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{20°}{360°} \cdot \pi (12 \text{ см})^2 \]
3. Упрощаем дробь: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{18} \cdot \pi (144 \text{ см}^2) \]
4. Вычисляем: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{144\pi}{18} \text{ см}^2 = 8\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь кругового сектора 8\( \pi \) см².

Задание 4. Центральный угол сектора

Дано:

• Площадь кругового сектора: \( S_{\text{сектора}} = 10\pi \) м².
• Радиус: \( r = 6 \) м.

Найти: Центральный угол сектора \( \alpha \).

Решение:

1. Используем формулу площади кругового сектора: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 \]
2. Выразим \( \alpha \): \[ \alpha = \frac{S_{\text{сектора}} \cdot 360°}{\pi r^2} \]
3. Подставляем значения: \[ \alpha = \frac{10\pi \text{ м}^2 \cdot 360°}{\pi (6 \text{ м})^2} \]
4. Упрощаем: \[ \alpha = \frac{10\pi \cdot 360°}{\pi  36} \]
5. Вычисляем: \[ \alpha = \frac{10 \cdot 360°}{36} = 10 \cdot 10° = 100° \]

Ответ: Центральный угол сектора 100°.

Задание 5. Длина дуги окружности

Дано:

• Радиус окружности: \( r = 12 \) дм.
• Градусная мера дуги: \( \alpha = 60° \).

Найти: Длину дуги окружности \( L \).

Решение:

1. Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \[ L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r \]
2. Подставляем значения: \[ L = \frac{60°}{360°} \cdot 2\pi (12 \text{ дм}) \]
3. Упрощаем дробь: \[ L = \frac{1}{6} \cdot 2\pi (12 \text{ дм}) \]
4. Вычисляем: \[ L = \frac{24\pi}{6} \text{ дм} = 4\pi \text{ дм} \]

Ответ: Длина дуги окружности 4\( \pi \) дм.